如果一个函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期（minimal positive period）.例如，正弦函数的最小正周期是2π.

根据上述定义，我们有：

对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。

y=Asin(ωx+φ), T=2π÷ω（其中ω必须>0）

中文名

最小正周期

外文名

minimal positive period

基本概念

f（x）所有周期中最小的正数

应用

图像分析、信号处理

领域

数学

算法实例

f(x)±g(x)最小正周期的求法

算法实例

函数

最小正周期的求法

定义法

概念：根据周期函数和最小正周期的定义，确定所给函数的最小正周期。

例1、求函数

的最小正周期.

解:∵

对定义域内的每一个

，当x增加到

时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是

.（如果

，那么

叫做

的周期）。

例2 、求函数

的最小正周期。

解：把

看成是一个新的变量

,那么

的最小正周期是

。

由于

所以当自变量

增加到

且必须增加到

时，函数值重复出现。

∴函数

的最小正周期是

。公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为

，正余切函数

。

函数

和

的最小正周期都是；函数

和

的最小正周期都是，运用这一结论，可以直接求得形如

一类三角函数的最小正周期（这里

表示正弦、余弦、正切或余切函数）。

例3、求函数

的最小正周期.

解：

∴

函数为两个三角函数相加，若角频率之比为有理数，则函数有最小正周期。

最小公倍数法

设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，

分别是它们的周期，且

，则

的最小正周期

的最小公倍数，

。

求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期，可以先求出各个三角函数的最小正周期，然后再求期最小公倍数T,即为和函数的最小正周期。

例4、求函数

的最小正周期.

解：设

的最小正周期分别为

，则

，所以

的最小正周期

.

例5、求

的最小正周期.

解：∵

与

的最小正周期是

,其最小公倍数是

.

∴

的最小正周期是

说明

：几个分数的最小公倍数，我们约定为各分数的分子的最小公倍数为分子，各分母的最大公约数为分母的分数。

图象法

概念：作出函数的图象，从图象上直观地得出所求的最小正周期。

例6、求

的最小正周期.

解：由

的图象

可知

的周期

.

例7、求下函数的最小正周期。

（1）

（2）

解：（1）先作出函数

的图象（见图1）

观察图象，易得所求的周期为

。

（2）先作出

的图象（见图2）

观察图象，易得所求的周期为

。恒等变换法

概念：通过对所给函数式进行恒等变换，使其转化为简单的情形，再运用定义法、公式法或图象法等求出其最小正周期。

(1)

(2)

(3) f(x)=

解 (1)

∴最小正周期为

(2)

∴最小正周期为

(3)

它与

的周期相同，故得

的最小正周期为

补充问题

函数

的最小正周期为（ B ）