实数集通俗地认为，通常包含所有有理数和无理数的集合就是实数集，通常用大写字母R表示。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。但当时的实数集并没有精确的定义。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。任何一个非空有上界的集合（包含于R）必有上确界。

中文名

实数集

外文名

The set of real number

定义

所有有理数和无理数的集合

提出者

康托尔（德国）

符号

R

包含

有理数和无理数

简介

通俗地认为，通常包含所有有理数和无理数的集合就是实数集，通常用大写字母

R

表示。

定义是由四组公理为基础的：

加法定理

1.1.对于任意属于集合

R

的元素 a、 b，可以定义它们的加法 a+ b，且 a+ b属于

R

；

1.2.加法有恒元0，且 a+0=0+ a= a（从而存在相反数）；

1.3.加法有交换律， a+ b= b+ a；

1.4.加法有结合律，( a+ b)+ c= a+( b+ c)。

乘法定理

2.1对于任意属于集合

R

的元素 a、 b，可以定义它们的乘法 a· b，且 a· b属于

R

；

2.2乘法有恒元1，且 a·1=1· a= a（从而除0外存在倒数）；

2.3乘法有交换律， a· b= b· a；

2.4乘法有结合律，( a· b)· c= a·( b· c)；

2.5乘法对加法有分配率，即 a·( b+ c)=( b+ c)· a= a· b+ a· c。

序公理

3.1∀ x、 y∈ R， x< y、 x= y、 x> y中有且只有一个成立；

3.2若 x< y，∀ z∈

R

， x+ z< y+ z；

3.3若 x< y， z>0，则 x· z< y· z；

3.4传递性：若 x< y， y< z，则 x< z。

完备公理

(1)任何一个非空有上界的集合（包含于

R

）必有上确界。

(2)设 A、 B是两个包含于

R

的集合，且对任何 x属于 A， y属于 B，都有 x< y，那么必存在 c属于

R

，使得对任何 x 属于 A， y属于 B，都有 x< c< y。

符合以上四组公理的任何一个集合都叫做

实数集

，实数集的元素称为

实数

。