极值点是函数图像的某段子区间内上最大值或者最小值点的横、纵坐标。若f(a)是函数f(x)的极值，则称a为函数f(x)取得极值时x轴对应的极值点。

极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。

中文名

极值点

外文名

extreme  point

类型

数学名词

性质

局部范围内的比较

来源于

最大最小值求解问题

分为

极大值点;极小值点

涉及学科

数学

简单释意

若f(a)是函数f(x)的极值，则称a为函数f(x)取得极值时x轴对应的

极值点

。

极值点

是函数图像的某段子区间内上最大值或者最小值点的横、纵坐标。

极值点必然出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（除特殊情况）。

可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点。但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点，例如

,点（0,0）是它的驻点，却不是它的极值点。

极值点上 f(x)的导数为零或不存在，且函数的单调性必然变化。

英文对照

extreme point;extreme points;extreme value point

极值的定义

极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定会达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。如果不是边界点就一定是内点，那么这个内点就一定是极值点。这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。

函数图

设函数f（x）在

。附近有定义，如果对x。附近的所有的点，都有

，则

是函数f（x）的一个极大值；如果对x。附近的所有的点，都有

，则

是函数f（x）的一个极小值, 对应的极值点就是

。

极值的分类

extremum

数学中的极值计算示例图

数学函数的一种稳定值，即一个极大值或一个极小值，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。

extreme value

在给定的时期内，或该时期的一定月份或季节内观测到的气候要素的最高值或最低值。如果这个时期是整个有观测资料的时期，这个极值就是绝对极值。

极值的概念

若一个函数的某一点存在某一邻域，在该邻域内函数处处都有定义，而该点的函数值为最大（小），则该函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）值。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。在极值点的左右，函数的增减性不一样，比如说在极值点的左方邻域内函数单调增加，则在极值点的右方邻域内函数单调减小。

极值是对函数某一区间的取值；极值不一定是整个函数定义域内的最值。

在工具书中的解释

使函数取极值的点(的横坐标)。

在学术文献中的解释

1、竖曲线的极值点竖曲线上的最高点或最低点即称为极值点

2、极大点和极小点统称为极值点。极大点和极小点是相间的因而极值点的个数为偶数.m（P）记录P的极值点的个数。此外显然特征点一定是内极大点我们看到P的极值点依序把P的边分成若干条链每条链关于y是单调的

计算步骤

单变量函数的极值求法

（1）求导数

;

（2）求方程

的根；

（3）检查

在函数图象左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。（人教版高中课本所示的解题步骤：

(1)将函数

求导 即

(2)解方程

. 当

时：

判断①如果在

附近的左侧

,右侧

,那么

是极大值;

②如果在

附近的左侧

,那么

是极小值.)

极值的充分条件

f在

的某邻域上一阶可导，在

处二阶可导，且

，

（1）若

，则f在

取得极大值

（2)若

，则f在

取得极小值

特别注意

无意义的点也要讨论。即可先求出

的根和

无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断。例如：

在

的导数是不可取的。

二阶连续偏导数的函数

的极值求法　叙述如下：

（1）解方程组

，

，求得一切实数解，即可求得一切驻点；

（2）对于每一个驻点

，求出二阶偏导数的值A、B和C；

（3）定出

的符号，按定理2的结论判定

是否是极值、是极大值还是极小值。

上面介绍的极值必要条件和充分条件都是对函数在极值点可导的情形才有效的。当函数仅在区域D内的某些孤立点

不可导时，这些点当然不是函数的驻点，但这种点有可能是函数的极值点，要注意另行讨论。

定理

若函数f(x)在

处可导，且

是函数f(x)的极值点。则

注：若去掉“函数f(x)在

处可导”的条件，则函数f(x)的极值点

处不一定有

，如

；此外，若

，则

不一定是极值点，如

在

处，有

，但

不是

的极值点。

判断方法

（1）若函数f(x)可导。

【第一判别法】若函数f(x)可导，

，且

，有

(或

）同时，

有

(或

），则

是函数f(x)的极大点（或极小点）。

【第二判别法】若函数f(x)存在二阶导数，

是函数f(x)的稳定点，即

，而

，则当

时，

是函数f(x)的极小点；当

时，

是函数f(x)的极大点。

（2）若函数f(x)在一些点不可导，则需要用定义判断。