如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，记为f'(x)

如果f(x)在(a,b)内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导，f'(x)为区间[a,b]上的导函数，简称导数。

中文名

导函数

外文名

derivative function

应用学科

数学

单调性

y'>0，原函数是增函数

应用领域

函数

几何意义

表函数上一点在该点处切线的斜率

定义

若将一点扩展成函数

在其定义域包含的某开区间I内每一个点，那么函数

在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值，都对应着

的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数

的导函数，记作：

或者

。

函数

在它的每一个可导点

。处都对应着一个唯一确定的数值——导数值

，这个对应关系给出了一个定义在

全体可导点的集合上的新函数，称为函数

的导函数，记为

。

导函数的定义表达式为：

值得注意的是，导数是一个数，是指函数

在点

处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。

分类

基本函数的导函数

其中C为常数

和差积商函数的导函数

复合函数

的导函数

设

则

例：

则

导函数

条件

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。

函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。

这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在它的左右极限存在且相等）推导而来。

例如：

在

处虽连续，但不可导（左导数-1，右导数1）

上式中，后两个式子可以定义为函数在

处的左右导数：
左导数：

右导数：

单调性

一般地，设函数

在某个区间内有导数，如果在这个区间

，那么函数

在这个区间上为增函数：如果在这个区间

，那么函数

在这个区间上为减函数；如果在这个区间

，那么函数

在这个区间上为常数函数

导数极值

一般地，设函数

在

及其附近有定义，如果

的值比

附近所有各点的函数值都大，我们说

是函数

的一个极大值；如果

的值比

附近所有各点的函数值都小，我们说

是函数

的一个极小值。极大值与极小值统称极值。

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：

1．极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

2．函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

3．极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。

4．函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

5．在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有

。但反过来不一定。如函数

，在

处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。若

满足 =0，且在

的两侧

的导数异号，则

是

的极值点，

是极值，并且如果 在

两侧满足“左正右负”，则

是f(x)的极大值点，

是极大值；如果 在

两侧满足“左负右正”，则

是

的极小值点，

是极小值。

6.极值与最值的区别：极值是在局部对函数进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较