当h=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数。对称关系对于
一般式:
①y=ax+bx+c与y=ax-bx+c两图像关于y轴对称
②y=ax+bx+c与y=-ax-bx-c两图像关于x轴对称
③y=ax+bx+c与y=-ax+bx+c-b/2a关于顶点对称
④y=ax+bx+c与y=-ax+bx-c关于原点中心对称。(即绕原点旋转180度后得到的图形)
对于顶点式:
①y=a(x-h)+k与y=a(x+h)+k两图像关于y轴对称,即顶点(h, k)和(-h, k)关于y轴对称,横坐标相反、纵坐标相同。
②y=a(x-h)+k与y=-a(x-h)-k两图像关于x轴对称,即顶点(h, k)和(h, -k)关于x轴对称,横坐标相同、纵坐标相反。
③y=a(x-h)+k与y=-a(x-h)+k关于顶点对称,即顶点(h, k)和(h, k)相同,开口方向相反。
④y=a(x-h)+k与y=-a(x+h)-k关于原点对称,即顶点(h, k)和(-h, -k)关于原点对称,横坐标、纵坐标都相反。
(其实①③④就是对
f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况
)图像画法
五点法五点草图法又被叫做五点作图法是二次函数中一种常用的作图方法。
注明:虽说是草图,但画出来绝不是草图。
五点草图法中的五个点都是极其重要的五个点,分别为:顶点、与x轴的交点、与y轴的交点及其关于对称轴的对称点。
Ps.正规考试也是用这种方法初步确定图像。但是正规考试的要求在于要列表格,取x、y,再确定总体图像。五点法是可以用在正规考试中的。
描点法在初中数学中,要求采用描点法画出二次函数图像。
其做法与五点法类似:【以
为例】1、列表
x | …… | -1 | -0.5 | 0 | 1 | 2 | 2.5 | 3 | …… |
| …… | 7 | 3.5 | 1 | -1 | 1 | 3.5 | 7 | …… |
先取顶点,用虚线画出对称轴。取与x轴两个交点(如果存在)、y轴交点及其对称点(如果存在)和另外两点及其对称点。
Ps.原则上相邻x的差值相等,但远离顶点的点可以适当减小差值
2、依据表格数据绘制函数图像,如图
方程关系
特别地,二次函数(以下称函数)
,当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数
,
,
,
(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
(0,0) x=0 (0,K) x=0(h,0) x=h(h,k) x=hy=ax²+bx+c
,当h>0时,
的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到,当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到。
当h>0,k>0时,将抛物线
向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)²+k(h>0,k>0)的图象当h>0,k<0时,将抛物线
向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位,就可得到y=a(x-h)²+k(h>0,k<0)的图象当h<0,k>0时,将抛物线
向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位,就可得到y=a(x+h)²+k(h<0,k>0)的图象当h<0,k<0时,将抛物线
向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位,就可得到y=a(x+h)²+k(h<0,k<0)的图象在向上或向下。向左或向右平移抛物线时,可以简记为“上加下减,左加右减”。
因此,研究抛物线
(a≠0)的图像,通过配方,将一般式化为 的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图像提供了方便。2.抛物线
(a≠0)的图像:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线,顶点坐标是 。3.抛物线
(a≠0),若a>0,当 时,y随x的增大而减小;当 时,y随x的增大而增大。若a<0,当 时,y随x的增大而增大;当 时,y随x的增大而减小。4.抛物线
的图像与坐标轴的交点:(1)图像与y轴一定相交,交点坐标为(0, c);
(2)当
时,图像与x轴交于两点和,其中的,是一元二次方程 (a≠0)的两根.这两点之间的距离 另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由(A为其中一点的横坐标的两倍)当
时,图像与x轴只有一个切点;当
时,图像与x轴没没有共。当a>0时,图像落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图像落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0。5.抛物线
的最值:如果a>0,则当 时, ;如果a<0,则当 时, 。顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值。
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式(表达式)为一般形式:
(2)当题给条件为已知图像的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时,可设解析式为顶点式:
(a≠0)。(3)当题给条件为已知图像与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:
(a≠0)。学习方法
知识要点1.要理解函数的意义。
2.要记住函数的几个表达形式,注意区分。
3.一般式,顶点式,交点式,等,区分对称轴,顶点,图像,y随着x的增大而减小(增大)(增减值)等的差异性。
4.联系实际对函数图象的理解。
5.计算时,看图像时切记取值范围。
6.随图象理解数字的变化而变化。二次函数考点及例题
二次函数知识很容易与其他知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现。
误区提醒(1)对二次函数概念理解有误,漏掉二次项系数不为0这一限制条件;
(2)对二次函数图像和性质存在思维误区;
(3)忽略二次函数自变量取值范围;
(4)平移抛物线时,弄反方向
。
定义与表达式152次播放02:55二次函数和二次方程由什么联系和区别?一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
三种表达式一般式:
(a,b,c为常数,a≠0)顶点式:y=
[抛物线的顶点P(h, k)]交点式:
[仅限于与x轴有交点 和 的抛物线]注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
,,抛物线的性质2095次播放01:29【二次函数】 17 二次函数的图像变换1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶
点P,坐标为
当
时,P在y轴上;当 时,P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向,|a|决定抛物线开口大小。
当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a有1个交点。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)
抛物线与x轴交点个数
>0时,抛物线与x轴有2个交点。=0时,抛物线与x轴有1个交点。<0时,抛物线与x轴没有交点。系数表达的意义a.决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
b.和a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
c.决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)