等比数列（与前项比值等于同个常数的数列）

等比故事

根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情．

国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐．宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的两倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了。“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个谦卑的请求。

这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一下就可以得出：

如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回。^[1]

国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。

正当国王一筹莫展之际，王太子的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像

西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐……我也只好不要了！”当然，最后宰相还是获得了很多的赏赐。

公式

（1）定义式：

（2）通项公式（等比数列通项公式通过定义式叠乘而来）：

（3）求和公式：

求和公式用文字来描述就是：

讨论公比

q

是否为1.

（4）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：

若

记

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

等比中项定义：从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。

等比中项公式：

（6）无穷递缩等比数列各项和公式：

（7）由等比数列组成的新的等比数列的公比：{

1.若

则，A、B、C构成新的等比数列，公比

2.若

则，A、B、C构成新的等比数列，公比

性质

（1）若

（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

（3）若“G是a、b的等比中项”则“

（4）若{

（5）若（

（6）等比数列前n项之和

在等比数列中，首项

注意：上述公式中

（7）由于首项为

求通项方法

（1）待定系数法：已知

构造等比数列

∴

∴{

（2）定义法：已知

∵

∴

应用

等比数列在生活中也是常常运用的。如：银行有一种支付利息的方式——复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在计算下一期的利息，也就是人们通常说的“利滚利”。^[2]按照复利计算本利和的公式：本利和=本金

随着房价越来越高，很多人没办法像这样一次性将房款付清，总是要向银行借钱，既可以申请公积金也可以申请银行贷款，但是如果还款到一定时间后想了解自己还得还多少本金时，也可以利用数列来自己计算。众所周知，按揭贷款（公积金贷款）中一般实行按月等额还本付息。下面就来寻求这一问题的解决办法。若贷款数额

其实类似的还有零存整取、整存整取等银行储蓄借贷，甚至还可以延伸到生物界的细胞细胞分裂。

设

证明：设等比数列的首项为

所以：

故：

说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：

对于等差数列，同样有：在等差数列中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：

在等差数列中，

解：由

而

故选C。

设

A.16 B.21 C.9 D.8

解：由于

设等差数列满足

解：∵

∴3(

故

令

∴

注：也可用二次函数求最值。

将正奇数集合

(第一组) (第二组) (第三组)

则1991位于第_____组中。

【1991年全国高中数学联赛第3题】

解：依题意，前n组中共有奇数

而

∵

∴1991应在第

故填32。