在不等式应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。

公式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

中文名

绝对值不等式

外文名

Absolute value inequality

方法

分析法，换元法，综合法等

应用学科

数学

表达式

|a|-|b| ≤|a土b|≤|a|+|b|

性质

表示数轴上的点

与原点的距离叫做数a的绝对值。

两个重要性质：

1、

（b≠0）

2、

可逆推出

，当且仅当

时左边等号成立，

时右边等号成立。

另外有：

几何意义

1、当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。

2、当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。(

表示

与原点的距离，也表示a与b之间的距离)

公式

绝对值

重要不等式

推导过程：

我们知道

;

因此，有：

......①

......②

......③

由①+②得：

即

......④

由①+③得：

即

......⑤

另：

由④知：

.......⑥

.......⑦

.......⑧

.......⑨

由⑥，⑦得：

......⑩

由⑧，⑨得：

......⑪

综合④⑤⑩⑪得到有关 绝对值(absolute value)的重要不等式：

要注意等号成立的条件（特别是求最值），即：

注：

同理可得

另“→”指可双向推出

解法

解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值符号。而去掉绝对值符号的基本方法有二。

以下，具体说说绝对值不等式的解法：

其一为平方，所谓平方，比如，

，可化为

，绝对值符号没有了！

其二为讨论，所谓讨论，即

时，|

；

时，

，绝对值符号也没有了！

说到讨论，就是令绝对值中的式子等于0，分出x的段，然后根据每段讨论得出的x值，取交集，综上所述即可。

其三为数形结合法，即在数轴上将各点画出，将数转换为长度的概念求解。