最大似然估计(maximum likelihood estimation, MLE)一种重要而普遍的求估计量的方法。最大似然法明确地使用概率模型，其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。

外文名

Maximum Likelihood Estimate

应用学科

统计学

本质

统计方法

使用工具

概率模型

英文简写

MLE

主要概述

最大似然估计

是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。

“似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。

该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。

例如，转换出现的概率大约是颠换的三倍。在一个三条序列的比对中，如果发现其中有一列为一个C，一个T和一个G，我们有理由认为，C和T所在的序列之间的关系很有可能更接近。由于被研究序列的共同祖先序列是未知的，概率的计算变得复杂；又由于可能在一个位点或多个位点发生多次替换，并且不是所有的位点都是相互独立，概率计算的复杂度进一步加大。尽管如此，还是能用客观标准来计算每个位点的概率，计算表示序列关系的每棵可能的树的概率。然后，根据定义，概率总和最大的那棵树最有可能是反映真实情况的系统发生树。

基本原理

给定一个概率分布D，假定其概率密度函数（连续分布）或概率聚集函数（离散分布）为

，以及一个分布参数θ，我们可以从这个分布中抽出一个具有n个值的采样

通过利用

，我们就能计算出其概率：

但是，我们可能不知道θ的值，尽管我们知道这些采样数据来自于分布D。那么我们如何才能估计出θ呢？一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有n个值的采样

然后用这些采样数据来估计θ。

一旦我们获得，我们就能从中找到一个关于θ的估计。最大似然估计会寻找关于 θ的最可能的值（即，在所有可能的θ取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。这种方法正好同一些其他的估计方法不同，如θ的非偏估计，非偏估计未必会输出一个最可能的值，而是会输出一个既不高估也不低估的θ值。

要在数学上实现最大似然估计法，我们首先要定义可能性：

并且在θ的所有取值上，使这个函数最大化。这个使可能性最大的值即被称为θ的

最大似然估计

。

主要性质

泛函不变性

（Functional invariance）

如果

是θ的一个最大似然估计，则当函数

具有单值反函数时，

 是

的一个最大似然估计。渐近线行为

最大似然估计函数在采样样本总数趋于无穷的时候达到最小方差（其证明可见于Cramer-Rao lower bound）。当最大似然估计非偏时，等价的，在极限的情况下我们可以称其有最小的均方差。对于独立的观察来说，最大似然估计函数经常趋于正态分布。

偏差

最大似然估计的非偏估计偏差是非常重要的。考虑这样一个例子，标有1到n的n张票放在一个盒子中。从盒子中随机抽取票。如果n是未知的话，那么n的最大似然估计值就是抽出的票上标有的n，尽管其期望值的只有

。为了估计出最高的n值，我们能确定的只能是n值不小于抽出来的票上的值。

求解步骤

基于对似然函数L(θ)形式(一般为连乘式且各因式>0)的考虑，求θ的最大似然估计的一般步骤如下：

(1)写出似然函数

总体X为离散型时：

总体X为连续型时：

(2)对似然函数两边取对数有

总体X为离散型时：

总体X为连续型时：

(3)对

求导数并令之为0：

此方程为对数似然方程。解对数似然方程所得，即为未知参数 的最大似然估计值。

例题展示

设总体

，

为未知参数，

是来自总体X的样本

是对应的样本值，求μ与σ 的最大似然估计值。

解：

X的概率密度为

可得似然函数如下：

取对数，得

令

解得

故μ和σ的最大似然估计量分别为