函数零点就是当f（x）=0时对应的自变量x的值，需要注意的是零点是一个数值，而不是一个点，是函数与X轴交点的横坐标。

中文名

函数零点

外文名

The zero of the function

定义

当f（x）=0时对应的自变量x的值

类别

函数

应用学科

数学

含义

一般地，对于函数

，我们把方程

的实数根x叫作函数

的零点（the zero of the function）。即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值。函数的零点不是一个点，而是一个实数。

术语解释

使得某系统的传递函数G(s)为0的s的值(注意s为复数)，该值在复平面上的点，就是零点。

若该系统的输入为U(s)，当s取值为零点处的值，则

。又因为系统输出

，而s的特殊取值使得

，所以此时无论输入信号为何种形式，最终输出Y(s)都是0，这也是

零点的实际意义

。

也可以这样说，若某系统工作在零点上，那么此时任何输入经过该系统后，输出都是0。

例子

⑴素数计数函数：

，上标为∞，下标为

。

函数零点

J(x)是一种阶性函数，定义为

，

其中，

是多重对数，ρ是所有黎曼函数中所有实部中的非平凡零点。

⑵黎曼-冯·诺依曼公式(描写黎曼ζ函数的零点)：

⑶黎曼猜想：黎曼函数中所有实部中的非平凡零点很有可能全是½(结果为实)。

⑷佩龙公式(描写黎曼ζ函数和素数计算函数的关系：)

设

，上标为∞，下标为

那么，

,下标为

，上标为

，下标为

其中，ρ是黎曼函数中所有实部中的非平凡零点

一般结论

若函数

在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号不同，即

，则在区间[a,b]内，函数

至少有一个零点，即相应的方程

在区间[a,b]内至少有一个实数解。

一般结论：函数

的零点就是方程

的实数根，也就是函数

的图像与x轴（直线

）交点的横坐标，所以方程

有实数根，推出函数

的图像与x轴有交点，推出函数

有零点。

更一般的结论：函数

的零点就是方程

的实数根，也就是函数

的图像与函数

的图像交点的横坐标，这个结论很有用。

变号零点

就是函数图像穿过那个点，也就是在那个点两侧取值是异号（那个点函数值为零）。

不变号零点

就是函数图像不穿过那个点，也就是在那个点两侧取值是同号（那个点函数值为零）。

注意

：如果函数最值为0，则不能用此方法求零点所在区间。

应用

二分法求方程的近似解

（1）确定区间[a,b]，验证

，给定精确度；

（2）求区间(a,b)的中点x；

（3）计算f(x)；

①若

，则x就是函数的零点；

②若

，则令

（此时零点

);即图象为

③若

，则令

。（此时零点

）

（4）判断是否满足条件，否则重复(2)~(4)