简谐振动是振动的一种形式。一个作直线振动的质点，如果取其平衡位置为原点，取其运动轨道沿`x`轴，那么当质点离开平衡位置的位移`x`随时间`t`变化的规律，遵从余弦函数或正弦函数时：`x=Acos(2*π*t/T+φ)`，这一直线振动便是简谐振动。式中`A`表示质点离开平衡位置时`(x=0)`的最大位移绝对值，称“振辐”，`T`是简谐振动的周期，`(2*π*t/T+φ)`角称为简谐振动的周相角或位相。

①物体在受到大小跟位移成正比，而方向恒相反的合外力作用下的运动，叫做简谐振动。②物体的运动参量，随时间按正弦或余弦规律变化的振动，叫做简谐振动。

中文名

简谐振动

别称

简谐运动

应用学科

力学

表达式

x=Ae^(-nt)sin(wt+θ）

简介

以x表示位移，t表示时间，这种振动的数学表达式为：

(1)

式中A为位移x的最大值，称为振幅，它表示振动的强度；

表示每秒中的振动的幅角增量，称为角频率，也称圆频率；称

为初相位。以

表示每秒中振动的周数，称为频率；它的倒数，

，表示振动一周所需的时间，称为周期。振幅A、频率f（或角频率

）、

初相位，称为简谐振动三要素。

如图2所示，由线性弹簧联结的集中质量m构成简谐振子。当振动位移自平衡位置算起时，其振动方程为：

式中

,k为弹簧的刚度。上式的通解就是（1）。A和

可由

时的初始位置

和初速度

决定。

但

只由系统本身的特征m和k决定，与外加的初始条件无关，故

亦称固有频率。

简谐振动

对于简谐振子，其动能

和势能

之和为—常量，即系统的总机械能守恒。在振动过程中，动能和势能不断相互转化。

说明

①振动中最简单的就是简谐振动。实际上，物体的运动参量随时间按正弦或余弦规律变化，是物体受到大小跟位移成正比，方向恒相反的合外力作用的必然结果。

②作简谐振动的物体，回复力和位移成正比这一点，是比较容易理解的，但是对于方向恒相反这一点，初学者并不容易理解，错误地认为在物体由平衡位置向最大位移处运动的过程中，位移是指向最大位移处，这和所受的作用力反向；由最大位移处向平衡位置运动的过程中，位移是指向平衡位置，这和所受的作用力同向；这样似乎外力和位移的方向时而相反，时而相同了。造成这种看法主要是由于不理解简谐振动中，位移始终是指物体相对于平衡位置的位置变化，这就是说，物体对平衡位置的位移总是背向平衡位置。而回复力的方向总是指向平衡位置，所以二者方向恒相反。

③在教学中，我们还要强调，作简谐振动的物体除了受到大小跟位移成正比、方向恒相反的回复力作用外，不受其他不平衡力的作用，或者说物体所受的合外力大小和位移成正比，方向恒相反。对于既受大小跟位移成正比、方向恒相反的回复力作用，同时又受其他不平衡力作用（如阻力)，物体所作振动就不是一种简谐振动。

④我们一般可以用四种方法去描述简谐振动。

a．动力学方法。即

。其中

,

时刻位移相同，图像运动趋势表示其速度方向.

b．运动学方法。即

。

c．振动图线法。如图,x轴为时间,y轴为物体的位移

d．矢量图示法，也就是参考圆法。

我们往往在分析简谐振动时，采用参考圆法，那么参考点以角速度ω旋转时，它的投影就代表了给定的简谐振动的位移规律。这时参考点的角速度跟振动的角频率相对应。应该指出，用参考圆研究简谐振动仅仅只是一种方法，两种运动是不同性质的机械运动，它们之间没有什么必然的联系。

这四种方法分别从不同的角度反映了简谐振动，在教学中不要混淆。

⑤作简谐振动的物体振幅不变，而且物体的位移、加速度最大时，速度为零；位移、加速度为零时，速度最大。这些事实说明了物体系的势能和动能之间不断地相互转换，而且物体系的总能量保持一定。因此，任何时刻物体系的总能量等于它的势能极大值，也等于动能极大值。即任何时刻的势能。

如何比较两个同频率简谐振动的振动步调？比较两个简谐振动在同一时刻的相位，如果振动2与振动1的相位差大于零，则表明振动2的相位超前。

图示

回复力的定义：振子受迫使它回复平衡位置的力，是合外力平行于速度方向上的分力。

如果用F表示物体受到的回复力，用x表示小球对于平衡位置的位移，根据胡克定律,F和x成正比，它们之间的关系可用下式来表示：

式中的k是回复力与位移成正比的比例系数，不能与弹簧的劲度系数混淆；负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。

周期与频率

一般简谐运动周期：

. 其中m为振子质量,k为振动系统的回复力系数。

对于单摆运动，其周期

（π为圆周率

为根号）由此可推出

据此可利用实验求某地的重力加速度。

T与振幅(

度）和摆球质量无关。

当偏角

度时

；

根据牛顿第二定律,

,运动物体的加速度总跟物体所受的合力的大小成正比，并且跟合力的方向相同。

振幅、周期和频率

简谐运动的频率（或周期）跟振幅没有关系。

物体的振动频率本身的性质决定，所以又叫固有频率。

简谐振动方程

一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐振动：R是匀速圆周运动的半径，也是简谐振动的振幅；ω是匀速圆周运动的角速度，也叫做简谐振动的圆频率，ω=√(k/m)；φ是t=0时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度（逆时针为正方向），叫做简谐振动的初相位。在t时刻，简谐振动的位移x=Rcos（ωt+φ），简谐振动的速度v=-ωRsin（ωt+φ），简谐振动的加速度a=-（ω^2)Rcos（ωt+φ）=-ω^2*x,这三个式子叫做简谐振动的方程。

这个运动是假设在没有 能量损失引至阻力的情况而发生。

做简谐振动的物体的加速度跟物体偏离平衡位置的位移大小成正比，方向与位移的方向相反，总指向平衡位置.

简谐运动方程

一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动：R是匀速圆周运动的半径，也是简谐运动的振幅；ω是匀速圆周运动的角速度，也叫做简谐运动的圆频率，

；φ是

时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度（逆时针为正方向），叫做简谐运动的初相位。在t时刻，简谐运动的位移

，简谐运动的速度

，简谐运动的加速度

，这三个式子叫做简谐运动的方程。

这个运动是假设在没有能量损失引至阻力的情况而发生。

做简谐运动的物体的加速度跟物体偏离平衡位置的位移大小成正比，方向与位移的方向相反，总指向平衡位置。

微分方程解法

方程：

通解：

特解：

令：

结论：

振幅为A,初相为θ,周期为

,角频率为k。

其中k为系统的固有频率。

当物体到最低点时,

取极值，速率取最大值，此时

。

当物体到最高点时,

，速率取最大值，此时

在不同方向上最大。

阻尼振动

在阻力作用下的简谐运动。

简谐运动

振动过程中受到阻力的振动，振幅逐渐减小，直至振动停止。

振动方程：

.

受迫振动

在外界驱动力作用下的简谐振动，频率只与驱动力频率有关。

驱动力频率越接近固有频率，振幅越大。

驱动力频率与固有频率相等时，振幅随时间正比增大，发生共振。

受迫振动与共振：

⑴受迫振动：振动系统在周期性策动力作用下的振动。稳定时，系统的振动频率等于策动力的频率，跟系统的固有频率无关。

⑵共振：当策动力的频率等于系统的固有频率时振幅最大称为共振。