设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E。则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。

注：E为单位矩阵。

中文名

逆矩阵

别名

非奇异矩阵

外文名

inverse matrix

所属学科

线性代数

学科分类

高等数学类

定义

一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得

并称B是A的一个逆矩阵。不可逆的矩阵称为奇异矩阵。A的逆矩阵记作A。

定理

（1）逆矩阵的唯一性。

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，并记作A的逆矩阵为A。

（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是

。

对n阶方阵A,若

,则称A为满秩矩阵或非奇异矩阵。

（3）任何一个满秩矩阵都能通过有限次初等行变换化为单位矩阵。

推论满秩矩阵A的逆矩阵A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。

验证两个矩阵互为逆矩阵

按照矩阵的乘法满足：

故A，B互为逆矩阵。

逆矩阵的唯一性

若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。

证明：

若B,C都是A的逆矩阵，则有

所以

，即A的逆矩阵是唯一的。

判定简单的矩阵不可逆

如

假设有

是A的逆矩阵，则有

比较其右下方一项：

。

若矩阵A可逆，则

若A可逆，即有

，使得

，故

计算

若

，则矩阵A可逆，且

其中，A为矩阵A的伴随矩阵。

性质

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、（唯一性）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作

。

4、可逆矩阵A的转置矩阵A也可逆，并且

(转置的逆等于逆的转置）

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即

，则

，则

。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

(1)A与B的地位是平等的，故A、B两矩阵互为逆矩阵，也称A是B的逆矩阵；

(2)单位矩阵E是可逆的，即 。

(3)零矩阵是不可逆的，即取不到B，使

。

(4)如果A可逆，那么A的逆矩阵是唯一的。

事实上，设B、C都是A的逆矩阵，则有

。

A的逆矩阵记为 ，即若

，则 。

可逆矩阵还具有以下性质：

(1)若A可逆,则A亦可逆,且

。

(2)若A可逆,则A亦可逆,且

。

(3)若A、B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆,且

。证明

1、逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。设B与C都为A的逆矩阵，则有

2、假设B和C均是A的逆矩阵，

，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。

3、由逆矩阵的唯一性，A的逆矩阵可写作（A）和A，因此相等。

4、矩阵A可逆，有

。

由可逆矩阵的定义可知，A可逆，其逆矩阵为（A）。而（A）也是A的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此

。

5、1）在

两端同时左乘A（BA=O同理可证），得

，故

）由

（

同理可证），

，等式两边同左乘A，因A可逆

。得

，即

。

可逆的等价条件

1、齐次方程方程组

仅有零解。

2、A行等价与单位矩阵I

3、A可写成若干个初等矩阵之积。

4、是（当时，A称为奇异矩阵），利用这个方法，来判定一个矩阵是否可逆更加方便。

证明

必要性

：当矩阵A可逆，则有

。（其中I是单位矩阵）

两边取行列式，

由行列式的性质：

则

，（若等于0则上式等于0）

充分性

：有伴随矩阵的定理，有

（其中

是的伴随矩阵。）

当

，等式同除以

，变成

比较逆矩阵的定义式，可知逆矩阵存在且逆矩阵

求法

求逆矩阵的初等变换法

将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵

对B施行初等行变换，即对A与I进行完全相同的若干初等行变换，目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时，B的右一半矩阵同时化为了A。

如求的逆矩阵A。

故A可逆并且，由右一半可得逆矩阵

初等变换法计算原理

若n阶方阵

A

可逆，即A行等价I，即存在初等矩阵P1，P2,...,Pk使得

在此式子两端同时右乘A得：

比较两式可知：对A和I施行完全相同的若干初等行变换，在这些初等行变化把A变成单位矩阵的同时，这些初等行变换也将单位矩阵化为A。

如果矩阵

A

和

B

互逆，则

。由条件

以及矩阵乘法的定义可知，矩阵

A

和

B

都是方阵。再由条件

以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是方阵，且

）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。

伴随矩阵法

如果矩阵

可逆，则

注意：

中元素的排列特点是

的第k

列

元素是

的第k

行

元素的代数余子式。要求得

即为求解

的余因子矩阵的转置矩阵。

的伴随矩阵为，

其中

称为aij的代数余子式。