在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立(linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。

例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。

中文名

线性相关

外文名

Linearly correlation

类型

代数

相对

线性无关

应用学科

线性代数

定义

在向量空间V的一组向量

A:

，如果存在

不全为零

的数

, 使

则称向量组

A

是线性相关的，否则数

全为0时，称它是线性无关。

由此定义看出

是否线性相关，就看是否存在一组

不全为零

的数

使得上式成立。

即是看

这个齐次线性方程组是否存在非零解，将其系数矩阵化为最简形矩阵，即可求解。此外，当这个齐次线性方程组的系数矩阵是一个方阵时，这个系数矩阵存在行列式为0，即有非零解，从而

线性相关。

注意

  1. 对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。
  2. 向量组只包含

    一个

    向量a时，a为

    0向量

    ，则说

    A

    线性相关; 若

    a

    ≠

    0

    , 则说

    A

    线性无关。
  3. 包含零向量的任何向量组是线性相关的。
  4. 含有相同向量的向量组必线性相关。
  5. 增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)【局部相关，整体相关】
  6. 减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）【整体无关，局部无关】
  7. 一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。【无关组的加长组仍无关】
  8. 一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。【相关组的缩短组仍相关】
  9. 若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。

定理

1、向量

线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余

个向量的线性组合。

2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。

3、两个向量

a

、

b

共线的充要条件是

a

、

b

线性相关。

4、三个向量

a

、

b

、

c

共面的充要条件是

a

、

b

、

c

线性相关。

5、n+1个n维向量总是线性相关。【个数大于维数必相关】