函数最大值分为函数最小值与函数最大值。简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。函数最大（小)值的几何意义——函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值。

中文名

函数最值

定义

函数最值分为函数最小值与函数最大值

类型

代数计算

分类

最小值最大值

特点

抽象

相关学科

数学

范围

通用

运用领域

数学

简介

一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。

最小值

设函数

的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数

，都有

，②存在

。使得

，那么，我们称实数M 是函数

的最小值。最大值

设函数

的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数x∈I，都有

，②存在

。使得

，那么，我们称实数M 是函数

的最大值。

一次函数

一次函数（linear function），也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。所以，无论是正比例函数，即：

。还是普通的一次函数，即：

（k为任意不为0的常数，b为任意实数），只要x有范围，即

或

（要有意义），那么该一次函数就有最大或者最小或者最大最小都有的值。而且与a的取值范围有关系。当

时，则y随x的增大而减小，即y与x成反比。则当x取值为最大时，y最小，当x最小时，y最大。例：

则当

时，y最小，

时，y最大。当

时，则y随x的增大而增大，即y与x成正比。则当x取值为最大时，y最大，当x最小时，y最小。例：

则当

时，y最大，

时，y最小。

二次函数

一般地，我们把形如

（其中a，b，c是常数，

）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。

注意

：“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。如同函数不等于函数关系。

而二次函数的最值，也和一次函数一样，与a扯上了关系。当a<0时

函数最值

观察右图。当

时，则图像开口于

，

一样，则此时y 有最大值，且y只有最大值（联系图像和二次函数即可得出结论），此时y值等于顶点坐标的y值。当

时观察右图。当

时，则图像开口于

，

一样，则此时y 有最小值，且y只有最小值（联系图像和二次函数即可得出结论）此时y值等于顶点坐标的y值。

反比例

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成

(k为常数，

)的形式，那么称y是x的反比例函数。因为

是一个分式，所以自变量X的取值范围是

。而

有时也被写成

或

。

这反比例函数的最值，实际上，和二次函数、一次函数与a的关系一样，与k的取值范围有关系，然而，它并不像二次函数那样，最值是确定的，而是像一次函数那样，只有当x有取值范围后，最值才能有。

当

时，且

时，

y随着x的增大而增大

。而当

时，且

时，

y随着x的增大而增大

。这个是很容易弄混的，应当在草稿本上例题验算一下。

当

时，且

时，

y随着x的增大而减小

。而当

时，且

时，

y随着x的增大而减小

。这个同样是很容易弄混的，应当在草稿本上例题验算一下，然后与上面的进行对比