二进制码（只采用两种不同字符的代码）

相关历史

现代的二进制记数系统由戈特弗里德·莱布尼茨于1679年设计，在他1703年发表的文章《论只使用符号0和1的二进制算术，兼论其用途及它赋予伏羲所使用的古老图形的意义》（法语：Explication de l'arithmétique binaire, qui se sert des seuls caractères 0 et 1 avec des remarques sur son utilité et sur ce qu'elle donne le sens des anciennes figures chinoises de Fohy）出现。与二进制数相关的系统在一些更早的文化中也有出现，包括古埃及、古代中国和古印度。中国的《易经》尤其引起了莱布尼茨的联想。

印度学者平甲拉(公元前两世纪左右) 通过二进制方法来研究韵律诗。他的二进制中用到的是长短音节(一个长音节相当于两个短音节)，有些像摩尔斯电码。与西方的位置表示法不同，平甲拉的系统中，二进制是从右往左书写的。

1605年，弗朗西斯·培根提出了一套系统，可以把26个字母化为二进制数。此外他补充道，这个思路可以用于任何事物：“只要这些事物的差异是简单对立的，比如铃铛和喇叭，灯光和手电筒，以及火枪和类似武器的射击声”。这对二进制编码的一般理论有重要意义。（参见培根密码）

莱布尼茨和《易经》

1854年，英国数学家乔治·布尔发表了一篇里程碑式的论文，其中详细介绍了一种代数化的逻辑系统，后人称之为布尔代数。他提出的逻辑演算在后来的电子电路设计中起基础性作用。

1937年，克劳德·香农在麻省理工大学完成了其电气工程硕士学位论文，用继电器和开关实现了布尔代数和二进制算术运算。论文题为《继电器与开关电路的符号分析》（A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits），其中香农的理论奠定了数字电路的理论基础。香农凭这篇论文于1940年被授予美国阿尔弗雷德·诺贝尔协会美国工程师奖。哈佛大学的哈沃德·加德纳称，香农的硕士论文“可能是本世纪最重要、最著名的硕士学位论文”。

1937年11月，任职于贝尔实验室的乔治·斯蒂比兹发明了用继电器表示二进制的装置。它是第一台二进制电子计算机。

进制转换

整数部分，把十进制转成二进制一直分解至商数为0。读余数从下读到上，即是二进制的整数部分数字。小数部分，则用其乘2，取其整数部分的结果，再用计算后的小数部分依此重复计算，算到小数部分全为0为止，之后读所有计算后整数部分的数字，从上读到下。

将59.25(10)转成二进制：

整数部分：

59 ÷ 2 = 29 ... 1

29 ÷ 2 = 14 ... 1

14 ÷ 2 = 7 ... 0

7 ÷ 2 = 3 ... 1

3 ÷ 2 = 1 ... 1

1 ÷ 2 = 0 ... 1

小数部分：

0.25×2=0.5

0.50×2=1.0

59.25（10）=111011.01（2）

也可以公式来计算

59.25（10） = 101*10101+1001*10100+10*1010-1+101*1010-10

= 101*1010+1001+10/1010+101/1010/1010

= 110010+1001+(10+0.1)/1010

= 111011+0.01

= 111011.01

将1001012转换为十进制形式如下：

• 1001012= [ (

  1

  ) × 2] + [ (

  0

  ) × 2] + [ (

  0

  ) × 2] + [ (

  1

  ) × 2] + [ (

  0

  ) × 2 ] + [ (

  1

  ) × 1 ]
• 1001012= [

  1

  × 32 ] + [

  0

  × 16 ] + [

  0

  × 8 ] + [

  1

  × 4 ] + [

  0

  × 2 ] + [

  1

  × 1 ]

• 1001012= 3710

数表[编辑]

把二进制化为八进制也很容易，因为八进制以8为基数，8是2的幂（8=2），因此八进制的一位恰好需要三个二进制位来表示。八进制与二进制数之间的对应就是上面表格中十六进制的前八个数。二进制数000就是八进制数0，二进制数111就是八进制数7，以此类推。

八进制转为二进制：

• 658= 110 1012
• 178= 001 1112

二进制转八进制：

• 1011002= 101 1002（三位一组） = 548
• 100112= 010 0112（用零填充 (密码学)，三位一组） = 238

八进制转十进制：

• 658= (6 × 8) + (5 × 8) = (6 × 8) + (5 × 1) = 5310
• 1278= (1 × 8) + (2 × 8) + (7 × 8) = (1 × 64) + (2 × 8) + (7 × 1) = 8710

相关应用

二进制的应用非常广泛，可以应用于各个方面，比如计算机科学，物理学等。

已知集合A，求A的幂集。

由于集合子集中的元素与子集下标中二进制位的“l”相对应，因此求子集中元素的运算可以转化为寻找子集下标二进制位中“l”所在位置的运算，此运算可以利用移位操作来实现。

例如，求101所对应的A的子集，我们可以通过3次移位，每次先将当前的数值与数值1相与，如果结果等于1，则本次第0位上的值为l，否则为0，由移位的次数可以知道当前第0位的l在原数据中的位置，从而找到对应的实际元素。运算如下：

①第0次与：lOl&001=1，a对应二进制位的第0位，而且本次相与的结果为1，所以a属于此子集：101右移一位，现在的数值为010

②第1次与：010&001=0，b对应二进制位的第l位，而且本次相与的结果为0，所以b不属于此子集。OlO右移一位，现在的数值为001③第1次与：001&001=l，C对应二进制位的第2位，而且本次相与的结果为1，所以C属F此子集。001右移一位，现在的数值为000。

计算完毕。求出101对应的A的子集为{a，c}。