在数学中，函数 f 的图形（或图象）指的是所有有序对（x, f(x)）组成的集合。具体而言，如果x为实数，则函数图形在平面直角坐标系上呈现为一条曲线。如果函数自变量x为两个实数组成的有序对（x1, x2)，则图形就是所有三重序（x1, x2, f(x1, x2)）组成的集合，呈现为曲面（参见三维计算机图形）。

中文名

函数图像

外文名

Functions images

类型

数学术语

应用

水量g是抽水时间t的一次函数

图象性质

满足等式：y=kx+b

几何与方程论

Functions images(函数的图象)

一次函数图像

点集

叫做函数

的图象

一次函数

自变量x和因变量y有如下关系：

（k，b为常数，

）

则称y是x的一次函数。

特别地，当

时，y是x的正比例函数。

若两个变量x，y间的关系式可以表示为

（k，b为常数，

）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当

时，称y是x的正比例函数。图象性质

1． 作法与图形：通过如下3个步骤（1）算出该函数图象与Y轴和X轴的交点的坐标（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。

2． 性质：在一次函数上的任意一点

，都满足等式：

。

3． k，b与函数图象所在象限。

当

时，直线必通过一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大；

当

时，直线必通过二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小；

当

时，直线必通过一、二象限；当

时，直线必通过三、四象限。

特别地，当

时，直线通过原点

表示的是正比例函数的图象。

这时，当

时，直线只通过一、三象限；当

时，直线只通过二、四 象限。

反比例函数图像

4. （1) 函数关系中自变量可取值的集合叫做函数的定义域。求用解析式表示的函数的定义域，就是求使函数各个组成部分有意义的集合的交集，对实际问题中函数关系定义域，还需要考虑实际问题的条件。 (2)值域与定义域内的所有x值对应的函数值形成的集合，叫做函数的值域。（3)单调性定义：对于给定区间上的函数

例题

已知点

，请确定过点A、B的一次函数的表达式。 （1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为

。如果

，则函数解析式为

所以说正比例函数是特殊的一次函数。 （2）因为在一次函数上的任意一点

，都满足等式

。所以可以列出2个方程：

① 和

②。 （3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。 （4）最后得到一次函数的表达式。 （5）在

中，使x,y分别等于0，可求出两个坐标系必定经过的两点

和

。

应用

1.当时间t一定，距离S是速度v的一次函数。

。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。

分类

反比例函数

形如

(k为常数且

) 的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的图象为双曲线。

如图，上面给出了x分别为正和负（2和-2),

时的函数图象。双钩函数

双钩函数图像

函数

叫做双钩函数。

该函数是奇函数，图象关于原点对称。位于第一、三象限。

当

时，由基本不等式可得：

当且仅当

,即

时取等号。

故其顶点坐标为

，图象在

上是单调递减的，在

上是单调递增

同理：当

时，由基本不等式可得：

当且仅当

,即

时取等号。

故其顶点坐标为

，

图象在

上是单调递增，

在

上是单调递减的。

当

时可转化为

的情况

通常，作图时，x看做0。代入得y，也就是纵轴坐标

有时，通过平移，把形如

也看成反比例函数。

特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

二次函数

二次函数图像

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

（a，b，c为常数，

，且a决定函数的开口方向，

时，开口方向向上，

时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,

越大开口就越小,

越小开口就越大.）

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

表达式

一般式：

（a，b，c为常数，

）

顶点式：

[抛物线的顶点

]

交点式：

[仅限于与x轴有交点

和

的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

图象

在平面直角坐标系中作出二次函数

的图象，

可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。

性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当

时，抛物线的对称轴是y轴（即直线

）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

当

时，P在y轴上；当

时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当

时，抛物线向上开口；当

时，抛物线向下开口。

越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即

），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即

），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于

6.抛物线与x轴交点个数

时，抛物线与x轴有2个交点。

时，抛物线与x轴有1个交点。

时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（

的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

位置关系

二次函数

各式中，

)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式 顶点坐标 对 称 轴

当

时，

的图象可由抛物线

向右平行移动h个单位得到，

当

时，则向左平行移动

个单位得到．

当

时，将抛物线

向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到

的图象；

当

时，将抛物线

向右平行移动h个单位，再向下移动

个单位可得到

的图象；

当

时，将抛物线向左平行移动

个单位，再向上移动k个单位可得到

的图象；

当

时，将抛物线向左平行移动

个单位，再向下移动

个单位可得到

的图象；

因此，研究抛物线

的图象，通过配方，将一般式化为

的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线

的图象：当

时，开口向上，当

时开口向下，对称轴是直线

，顶点坐标是

．

3．抛物线

若

，当

时，y随x的增大而减小；当

时，y随x的增大而增大．若

，当

时，y随x的增大而增大；当

时，y随x的增大而减小．

4．抛物线

的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为

；

(2)当

，图象与x轴交于两点

和

，其中的

是一元二次方程

的两根．这两点间的距离

当

．图象与x轴只有一个交点；

当

．图象与x轴没有交点．当

时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有

；当

时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有

．

5．抛物线

的最值：如果

，则当

时，y最小(大)值

．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．