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功（物理学中表示力对位移累积的量）

次浏览 | 更新时间：2023-05-16

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功

本词条是多义词，共2个义项

物理学中表示力对位移累积的量

功（英语：work），也叫机械功。如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功。功是物理学中表示力对位移的累积的物理量。与机械能相似的是，功也是标量，国际单位制单位为焦耳。“功”一词最初是法国数学家贾斯帕-古斯塔夫·科里奥利在物体上的力，另一个是物体在这个力的方向上移动的距离。

基本信息

中文名	功
别名	机械功
外文名	work
公式	W=Fscosα
所属学科	物理学
单位	焦耳

收起

单位定义

功

功的定义（一维）

在一维运动（即在一条直线上的运动）中，如果物体因为力F从A运动到B，位移了x，物体做了W的功。

定义为F在一小段位移dx下做的功为dW。

两端积分：，这是功的一般定义。

根据牛顿第二定律：

速度定义式：(可以理解为在一段时间dt内的位移距离为dx，当dt趋于0时，v是瞬时速度）

加速度定义式：（可理解为在一段时间dt内的增加速度为dv，当dt趋于0时，a是瞬时加速度）

积分可代换为。（其中和分别是物体在A点和B点的速度）

如果物体做匀速运动（速度可为0），那么物体总功为零；

如果物体受到的力合力为F，而初运动和末运动的位移方向与F相同，那么这个物体做正功；

如果物体受到的力合力为F，而初运动和末运动的位移方向与F相反，那么这个物体做负功；

功是标量，功的正负不代表大小，

的功比

的功小。

功的定义（三维）

在三维运动（即在一个空间中的运动）中，如果物体因为力F从A运动到B，位移了r，物体做了W的功,

，i,j,k分别是x,y,z的正方向单位向量，定义为物体从A到B所做的功。

根据牛顿第二定律：

速度定义式：

加速度定义式：

我们把三维运动分解为三个方向的一维运动，就有计算公式：

速度的x，y，z正方向的投影用下标表示。

特别的当所有矢量的z方向为0时，是二维运动的总功，如果y方向也为0时，是一维运动的总功，与之前的定义是不矛盾的。

功的公式

(初中阶段，力方向与位移方向的夹角为0，即

，所以

)

推导：

在二维运动中，

F是恒定力（即始终不改变的力），s是物体位移，从A到B，α是F与x轴夹角，θ是s与x轴夹角，如果我们令

，那么只需要取s是正方向，垂直于s的是y轴就可以了，那么第二项就为0，

，故

做功的两个因素：

1.作用在物体上的力

2.物体在这个力的方向上移动的距离

注：功的公式只能计算一个力或一个合力所做的功，如要算总功，需用速度与质量的公式。

单位解释

如果一个力作用在物体上，物体在这个力的方向上移动了一段距离，力学里就说这个力做了功。即使存在力，也可能没有做功。例如，在匀速圆周运动中，向心力没有做功，因为做圆周运动的物体的动能没有发生变化。同样的，桌上的一本书，尽管桌对书有支持力，但因没有位移而没有做功。

总的来说不做功的情况有三种：不劳无功、有劳无功和垂直无功。（不劳无功：只移动了距离，但在这移动的方向上没产生力，即

焦耳；有劳无功：只有力，却在力的方向上没有移动一定的距离，

焦耳；垂直无功：物体既受到力，又通过一段距离，但两者方向互相垂直，

焦耳。）

热传导不被认为是做功，因为能量被转化成了微观原子的振动而非宏观的位移。

PS：功的实质就是力的空间累积。

基本信息

力与物体在力的方向上通过的距离的乘积称为机械功（mechanicalwork)，简称功。功定义为力与位移的内积。其中，W表示功，F表示力，而dx表示与外力同方向的微小位移；上式应表示成路径积分，a是积分路径的起始点，b是积分路径的终点。为了了解物体受力作用，经过一段距

离后所产生的效应，而定义出功的概念。

功是标量，所以功的正、负不表示方向。功的正负也不表示功的大小。它仅仅表示是动力对物体做功还是阻力对物体做功，或者说是表示力对物体做了功还是物体克服这个力做了功。若要比较做功的多少，则要比较功的绝对值，绝对值大的做功多，绝对值小的做功少。功是能量变化的量度，做功的多少反映了能量变化的多少，功的正负则反映了能量转化的方向（注意：不是空间的方向）

判断一个力对物体是否做功，可根据该力和物体位移方向的夹角是否为90°，或力与物体速度方向的夹角是否总是90°来确认力是否对物体做功。夹角大于90°时功为负，夹角小于90°时功为正。所以力的作用是相互的。距离是两物体之间的差。机械功W=Fs。

国际单位

国际单位制中功的单位为焦耳（J）。焦耳被定义为用1牛顿的力对一物体使其发生1米的位移所做的机械功的大小。量纲相同的单位牛·米有时也使用，但是一般牛·米用于力矩，使其跟功和能区别开。

非国际单位制单位包括尔格、英尺·磅等。

在国际单位中，功的单位是焦耳，简称‘焦’，符号为J，单位为J，

由英国物理学家焦耳（JamesPrescottjoule，1818~1889）对科学的贡献而命名的。

单位内容

功等于力与物体在力的方向上通过距离的乘积。

对于一移动的物体而言，作功量/时间可以从距离/时间（即速度V）来计算。因此，在任何时刻，力所作的功率（焦耳/秒、瓦），其值为力的标量积（矢量）和作用点上的速度矢量。力的标量积和速度被归类为瞬时功率。

而正如速度可能会随着时间的推移以获得更长的距离，同一条路径上的总功率也同样是作用点沿着同一条路径上之瞬时功率的时间积分的总和。

功是指质点受外力作用位移而产生的量，当质点移动时，它沿着曲线X和速度V在所有的时间t。少量的功W发生在瞬时时间t能够写成：

其中F.v是在t内的瞬时功率，这些少量功的总合超过该质点运动位移所产生的功量。

其中C的位移是从x（t1）到x（t2），计算质点位移的积分。

如果力的方向总是沿着这条线，力的大小为F，那么此积分可简化为:

其中s是沿着直线的位移，假设F固定，且沿着此直线，则此积分可进一步简化成：

其中d是质点沿着直线前进的距离。

此计算可归纳为恒定力并非延著线而是沿着质点。在此情况下点的乘积F·

，其中θ是力矢量和运动方向之间的角度。即：

一般常见的情况，施加的力和速度矢量对身体成90角（中央力朝下身体绕一圆圈运动），由于

为0，所以不作功。因此可以延伸至重力对于星球在圆形轨道上运动不作功（此为理想情况，一般情况下轨道略呈椭圆形）。

此外身体作一等速圆周运动受到机械外力作用时，作的功也为0，就像在一理想情况之无摩擦力的离心机中作等速圆周运动一般。

计算功在时间和力作用在一直线路径上的数值只适用在最简单的情况下，如上文所述。如果力会变化，或身体延曲线方向移动，物体可能转动甚至并非刚性物体，那么其所作的功只和作用力的角度、路径有关，并且只有部分的力平行在作用点上形成的速度才作功（相同方向为正，反方向为负值），此处的力可以被描述为标量或是切线分量的标量。（

，其中θ是力和速度之间的夹角）。

至于功最普遍的定义如下：力所的功是其延著作用点上的路径之切线分量的标量也就是线性积分。

转矩和转动

转矩是从相等但方向相反的力作用于刚性体上两个不同的点所形成。这些力总合为零，但它会对物体影响形成转矩Τ，计算作功形成的转矩公式为：

，其中T.ω是作用在时间点t上。这些少量的功之合大于刚性体运动轨迹所产生的功。

，此积分是计算刚体延轨迹运动与时间变化的角速度ω，可以说与运动的路径息息相关。

如果角速度矢量保持恒定的方向，那么可以写成：

，其中φ为转动角度，单位矢量S。在此情况下，功的转矩可写成：

，其中C是从φ（t1）到φ（t2）的运动轨迹。此积分取决于φ（t）的值，因此与路径相关。

如果转矩T与角速度矢量一致，那么可写成：

而且若转矩和角速度是恒定的，那么功可写成这个形式：

Aforceofconstantmagnitudeandperpendiculartotheleverarm

此结果可以更简单的理解，如图所示。这股力将通过圆弧的距离

，所作的功即是：

，导出转矩

，得：

以上，请注意只有转矩在角速度矢量方向的部分才有作功。

力与位移

力与位移都是矢量。功是力与位移的内积，为标量。

（1）

其中是力矢量和位移矢量的夹角。

为使此式正确，力须为常矢量，路径须为一条直线。

如力随时间变化或路径不为直线，上式不再适用，此时需使用曲线积分。故功的一般公式为：

（2）

其中

是路径；

力矩

力矩所做功可由下式计算得到：

其中为力矩。

计算方式

功

普通的与物体位移同线同向的功的计算：

、

s表示力使物体位移的距离即物体在力的方向上移动的距离（实质是力的作用点的位移）。

电功的计算公式：

；

（电功率公式的变形）需注意的是，最后两个公式仅适用于纯电阻电路，即只有电阻工作的电路，而前两个公式是通式，任何电路都适用。

任何机械都只能省力（或省距离）不能省功。

下面是不同物理位移线方向的功：

（初中学阶段只考虑在一条直线上做的功所以cosα只考虑取1）

其中，W表示功，F表示力，α为力与位移之间的夹角。

由于物体的运动具有相对性，对不同参照系，位移不同，所以力所做的功与参照系的选取有关

功为标量，功的正负仅表示动力或阻力做功，不表示大小或方向，功的表达式是一个状态式，是一个过程量。

功的原理

内容：使用任何机械都不省功。

表达式：

(理想实验，忽略摩擦绳重等）

力与位移

力与位移都是矢量。功是力与位移的内积，为标量。

(1)其中θ是力矢量和位移矢量的夹角。

为使此式正确，力须为常矢量，路径须为一条直线。

如力随时间变化或路径不为直线，上式不再适用，此时需使用线积分。故功的一般公式为：

(2)其中C是路径；是力矢量；是位移矢量。表达式是一个非恰当微分，与路径有关，求微分后不能得到。

非零力可以不做功，这一点与冲量不同。冲量是力对时间的累积。冲量是矢量，所以圆周运动时虽向心力不做功，但产生了对物体的非零冲量。

力矩所做功可由下式计算得到：

其中为力矩。

与能的关系

一个物体对外做了多少功，它就减少了多少能量。反之，外界对一个物体做了多少功，这个物体的能量就增加了多少。（功与能单位相同）

比较快慢

方法一：

做功相同，比时间。时间越短，做功越快。

方法二：

时间相同，比做功。做功越多，做功越快。

方法三：

做功和时间均不相同，比比值。做功/时间的值越大，做功越快。

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