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矩问题（矩问题）

次浏览 | 更新时间：2023-05-22

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矩问题

在数学中，在试图将一个度量μ映射到序列Mn时就产生了矩问题。矩问题（moment problem）指研究概率分布是否被其各阶矩惟一决定的问题。在经典设置中，μ是实线上的度量，M是序列xn：n = 0,1,2，...。矩问题的证明需要从存在性和唯一性两方面进行。

基本信息

外文名	Moment problem
领域	数学

关于矩问题

在概率论中，已知分布函数为

，对于连续随机变量

的k阶原点矩

。假设已知它的若干阶原点矩，能否求出其分布函数呢？在物理学中，若有一根长为l的细棒，其线密度为

，绕一端点旋转，则

分别表示该细棒的质量、静力矩、转动惯量等一系列量。我们考虑其逆问题，即若已知细棒的质量、静力矩、转动惯量等一系列量，能否确定其密度函数？实际上这就是矩问题给一个矩量序列

，在区间

找到一个正的有界非减函数

使之满足：

这个问题Stieltjes于1894-1895年提出并得到了解决。

矩问题是一个从世纪开始研究的古典问题，但是基于研究的重要性现在被越来越多的人所重新认识。目前，矩问题的研究把算子理论、概率论、矩阵论结合起来，同时又与其他的研究方向相联系。

矩问题的产生

在数学中，在试图将一个度量μ映射到序列Mn求结果时就产生了矩问题。Mn表示为：

更一般地，对任意函数序列Mn可以表示为：

介绍

在经典设置中，μ是实线上的度量，M是序列

。在这种形式中，问题出现在概率论中，询问是否存在具有指定均值，方差等的概率测度，以及它是否是唯一的。

有三个经典时刻问题：可以将μ的支持作为整个实线的汉堡时刻问题; 对于[0，+∞]，Stieltjes矩问题; 并且一个有界区间的Hausdorff时刻问题，而不失一般性可能被认为是[0,1]。

存在性

数字序列mn是当且仅当满足某个正定条件时测量μ的矩的序列；即Hankel矩阵Hn，

应该是正半定的。这是因为正半定律汉克尔矩阵对应于线性函数

，使得

，并且

。假设

可以扩展到R[x*]。在单变量情况下，非负多项式总是写为平方和。因此，在单变量情况下，线性函数对于所有非负多项式都是正的。通过Haviland定理，线性函数具有度量形式，即：

对于给定间隔[a，b]支持的度量mu的存在，类似形式的条件是必需的和足够的。

证明这些结果的一种方法是考虑将多项式的线性函数：

代入到：

,如果

是[a，b]上μ支持的矩阵，那么显然：对于[a，b]上非负数的任何多项式P，

。

唯一性

Hausdorff矩问题中的μ的唯一性来自于Weierstrass逼近定理，其中说明在[0,1]的连续函数的空间中，多项式在均匀范数内是密集的。对于无限间隔的问题，唯一性是一个更微妙的问题。

矩问题的求解

用逼近方法来求解随机最优化问题，核心之一就是广义矩问题的求解。如逼近法使用的逼近概率测度是一些矩约束下的极值概率测度，根据随机变量

的部分矩信息计算期望函数

的上下界的问题等，归结起来都是解广义矩问题。故通过分析广义矩问题及其对偶问题的关系，提出了通过对偶问题来解广义矩问题的一种新方法。

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