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基本信息
| 中文名 | L-函数 |
| 外文名 | L-functions |
| 用途 | Dirichlet级数 |
| 编辑 | 黎曼猜想 |
定义
一般地，对于数学对象
，我们可定义复数列
，形如
且具有Euler乘积的Dirichlet级数，我们称其为关于的
函数。
来源
算术L-函数
简单地说，
椭圆曲线的Haass-Weil L-函数：设
为一非奇异的椭圆曲线定义
为曲线在有限域
上的解，设
，则下面的级数称为关于曲线的Haass-Weil L-函数
自守L-函数
全纯模形式的L-函数，Maass L-函数，标准L-函数等等。
研究内容
根据罗伯特·朗兰兹在国际数学家大会上的报告所指，研究一个L-函数主要有三部分内容：
特殊点的值
中心值，临界点，整点的值，极点的留数等。这里面也有很多猜想，像BSD猜想，类数问题，Deligne 猜想，Beilinson 猜想，Goldfeld猜想。其实往往我们重要的不仅是关心它具体有多大，而是关心的这个量里面隐含着什么样的算术意义。像Dedekind zeta 函数在
处的留数，里面包含了一个数域的很多不变量：类数，判别式，regular等；BSD猜想就是Haass-Weil L-函数在中心点的的阶就是该椭圆曲线的秩！
研究意义
对于一个研究对象如素数，伽罗瓦扩张，椭圆曲线，代数簇等等，我们可根据其性质构造出一个复变量的L-函数
。 -函数的解析性质：零点和极点，函数方程，展开系数，特殊点的值等等，往往能够充分反映的算术，几何，或代数性质。
三个公开问题
关于L-函数的研究，有许多未解决的公开问题，在这些问题中，尤以下面三个著名。
广义Riemann猜想
广义Lindelof猜想
在(3.1)的函数方程中，有猜想：
其中
为任意小的正实数。
广义Ramanujan猜想
在(3.1)的函数方程中，猜想对非分歧的有
和
。
参考资料
[1]
关于L-函数的四次均值公式-《科学通报》1989年09期 · 中国知网[引用日期2021-11-01]
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