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类数公式（类数公式）

次浏览 | 更新时间：2023-05-22

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在数论中，类数公式涉及了许多重要的不变量，是数域到其特殊的戴德金zeta函数赋值。

基本信息

分类	代数、代数数论
领域	数理科学

类数公式的一般性陈述

类数公式

数域 K 有扩张，为 K的实素点个数，为 K的复素点个数。 K戴德金zeta函数记为：，则有下列不变量：

类数公式

1、为K的理想类群的阶

类数公式

2、 K的素点

类数公式

3、为K的单位根个数

类数公式

4、为K在K/Q扩张的判别式

类数公式

定理1（类数公式）数域 K 的戴德金zeta函数绝对收敛，并对复平面，且s =1时，只有一个极点的亚纯函数，其留数为：

类数公式

这是最普遍的“类数公式”。在特殊情况下，例如当K是分圆域的扩张，也有简化的类数公式。

狄利克雷类数公式

类数公式

狄利克雷在1839年证明了第一类数公式，但它是关于二次型的类数而不是理想类的证明。设d是一个基本单位的判别式，写判别ð二次型的等价类数h为（D）。是Kronecker符号，则χ是Dirichlet特征。记χ的LDirichlet L序列为L(s, χ)，

类数公式

对于d>0，让t> 0，u>0 则满足u是最小的解Pell方程，如记: （ε也是实2次域的基本单位或基本单位的平方），对于d<0，记w为判别式d的二次型的自同构个数，则：

类数公式

然后狄利克雷证明出：

类数公式

这是上述定理1一个特殊情况：只对一个二次域K戴德金zeta函数的结论：留数为狄利克雷也证明了，L序列可以写成有限形式，从而类数也可以写成有限形式。类数有限的形式为：

类数公式

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