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收敛级数
部分和序列极限存在的级数
收敛级数（convergent series）是柯西于1821年引进的，它是指部分和序列的极限存在的级数。收敛级数的基本性质主要有：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变；两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数；在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性；原级数收敛，对此级数的项任意加括号后所得的级数依然收敛；级数收敛的必要条件为级数通项的极限为0。
基本信息
| 外文名 | Convergent series |
| 提出时间 | 1821年 |
| 必要条件 | 通项的极限为0 |
| 分类 | 收敛级数和绝对收敛级数 |
预备知识
数项级数的定义
给定一个数列
，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式“
”称为数项级数，或称为无穷级数，也可以简称为级数，其中
称为数项级数的通项。
上述数项级数常写作：
，或者简单记作
。
数项级数的前n项和
数项级数的前 n项和记作
，且有
。
部分和数列
称数列
，即数列
为数项级数的部分和数列。
定义
基本性质
性质1
设 k 为常数，如果级数
收敛于S，则级数
也收敛，且收敛于
。
证明：设级数 和的部分和分别为
，
则有
，
于是
，这就表明级数 也收敛，且收敛于 。
注：由关系式
可知，如果数列没有极限且
，那么
也没有极限。由此我们得到结论：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变。
性质2
如果级数 、
分别收敛于
，则级数
也收敛，且收敛到
。
证明：设级数 与 的部分和分别为 ，
则级数 的部分和为
，
于是
，这就表明了级数收敛，且收敛于 。
注意：性质2说明，两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数。
性质3
在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。
证明：我们只需证明“在级数的前面部分去掉、加上有限项，不会改变级数的收敛性”，因为其他情形（即在级数中去掉、加上或改变有限项的情形）都可以看成在级数的前面部分先去掉有限项，然后再加上有限项的结果。
以去掉k项为例，设级数为
，
记原级数前 
项的和为
，前 k 项和为
，去掉前 k 项得到的新级数的前 n 项和为
，
则有
。
易得当
时， 与 同时有极限，或者同时没有极限，
即级数与
同时收敛或同时发散。
类似的，可以证明在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性。
性质4
若级数 收敛，则对此级数的项任意加括号后所得的级数
证明：设级数 的前 n 项部分和，加括号后所成的级数的前 k 项的和为，则有：
...
注意：如果加括号后所成的级数发散，则原级数也发散。
性质5
如果级数收敛，则必有
。
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