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极大函数（极大函数）

次浏览 | 更新时间：2023-05-22

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极大函数

极大函数，又称哈代-李特尔伍德极大函数。极大函数的研究对分析数学的发展起了很大作用，近年来又有许多推广，并应用到数学的其他分支中去。

基本信息

外文名	Hardy-Littlewoodmaximal function
应用学科	数学

正文

又称哈代-李特尔伍德极大函数，由已知函数经一定运算（取平均）后取极大值所定义的函数，是由英国数学家G.H.哈代、J.E.李特尔伍德于20世纪30年代研究傅里叶级数时引进的。极大函数算子

是指将函数

映为它的极大函数

的算子。设

是

中的局部可积函数，那么称下面的

为

的极大函数：

式中

是以

为心、

为半径的球，

是球的体积,

极大函数

表示对

取上确界。可证明，极大函数

是几乎处处取有限值的，只要

；而且,式中

是常数，仅与

，

有关。

从极大函数的定义可知

几乎处处成立。另一方面，只要

,那么仍有

。这说明，极大函数

虽比

本身要大，但又“不太大”。正是这个重要性质，使得极大函数

能有效地控制那些在lp上有界的算子，最后可以通过函数本身的大小达到估计算子的目的。

极大函数的研究对分析数学的发展起了很大作用，近年来又有许多推广，并应用到数学的其他分支中去。

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