渐近线是指：曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。可分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。

中文名

渐近线

外文名

asymptote

意义

用来描述曲面上法曲率为零的方向

含义

曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零

原点

曲线无限远离原点时

零

直线的距离无限趋近于零

应用学科

数学

定义

当曲线上一点

沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时，如果

到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的

渐近线

。

数学上的定义则是：若函数

的图形收敛，则渐近线为

。

特点

渐近线分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。

需要注意的是：并不是所有曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无限延伸时的变化情况。

分类

根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、铅直渐近线、斜渐近线。

对于抛物线来说，如果当

时，

(

或

)，而且

一般为间断点，就把

叫做的铅直渐近线；

如果当

时，

，就把

叫做的水平渐近线。例如，

是曲线

的水平渐近线；

如果当

时，

，其中a和b为常数，那么

就是

的一条斜渐近线。

求法

求渐近线，可以依据以下结论：

双曲线两渐近线夹角一半的余弦等于

且

为两焦点的距离，

为轨迹上的点到焦点的距离差。

若极限

存在，且极限

也存在，那么曲线

具有渐近线

。

例：求

渐近线。

解：(1)

为其垂直渐近线。

(2)

，即

；

，即

；

所以

也是其渐近线。

示例

例如，直线

是双曲线

的渐近线，因为双曲线上的点

到直线的距离

；当

无限趋近于0时，

也无限趋近于0。所以按照定义，直线是该双曲线的渐近线。同理，双曲线也是该直线的渐近线。

结论

1.与

渐近线相同的双曲线的方程，有无数条（且焦点可能在

轴或

轴上）；

2.与

渐近线相同的双曲线可设为

，进行求解；

3.

的渐近线方程为

4.

的渐近线方程为