十二平均律（一种音乐定律方法）

音乐定律

十二平均律，又称“十二等程律”，是一种音乐定律方法，将一个纯八度（如cc）平均分成十二等份，每等分称为半音，是最主要的调音法。现在的钢琴就是根据十二平均律定音的。

“十二平均律”的纯四度和大三度，两个音的频率比分别与4/3和5/4比较接近。也就是说，“十二平均律”的几个主要的和弦音符，都跟自然泛音序列中的几个音符相符合的，只有极小的差别，这为小号等按键吹奏乐器在乐队中使用提供了必要条件，因为这些乐器是靠自然泛音级(自然泛音序列，其频率是基音频率的整数倍序列，成等差数列)来形成音阶的。半音是十二平均律组织中最小的音高距离，全音由两个半音组成。1-Ⅰ之间分成12份。具体1-2全音，2-3全音，3-4半音，4-5全音，5-6全音，6-7全音，7-i半音。

十二平均律在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用，钢琴即是根据十二平均律来定音的，因为只有“十二平均律”才能方便地进行移调。曲调由音阶组成，音阶由音组成。音有绝对音高和相对音高。声音是靠振动（声带、琴弦等）发出的，而振动的频率（每秒振动的次数），就决定了的音的绝对高度。不同的音有不同的振动频率。人们选取一定频率的音来形成音乐体系所需要的音高。

十二平均律简而言之，就是把半根琴弦按照等比数列平均分成十二份。一根琴弦的长度设为1，可以表示为(1/2)^(0/12)，第一品的位置是(1/2)^(1/12)，第二品的位置是(1/2)^(2/12)，依此类推，第n品的位置是(1/2)^(n/12)。因为这样的一组音是等比关系，所以无论从哪个位置开始弹起旋律都是一样的。

十二平均律的半音，比五度相生律的半音大，比纯律小。因此，使用十二平均律奏和弦不纯，奏旋律导向性不够，所以在乐曲的演奏中，尤其在乐队多声部合奏的时候，实际上是多律并用的，根据实际情况，在演奏过程中，偏向一种律制，并不是一成不变的。

根据十二平均律所有半音都相等的特点，因此还产生了“等音”。

例子

钢琴是十二平均律制乐器。国际标准音规定，钢琴的a1（小字一组的a音，对应钢琴键是49A）的频率是为440Hz；又规定每相邻半音的频率比值为2^(1/12)≈1.059463，（解释：这表示“2的十二分之一次方”），根据这规定，就可以得出钢琴上每一个琴键音的频率。如与a1右边相邻#a1的频率是440×1.059463=466.16372Hz；再往上，b1的频率是493.883213Hz；c2的频率是523.25099......同理，与a1左边相邻的#g1的频率是440÷1.059463=415.304735Hz.....这种定音的方式就是“十二平均律”。

钢琴上每相邻的两个琴键（黑白都算）的频率的差别，音乐上即为半音。比如说C和#C相差半音，C和D相差两个半音（或曰一个全音），以此类推。如果B再往上升半音，会发现这个音的频率刚好是C的两倍，而在音乐上称为一个八度，这两个音听起来“很相象”。用小写的c来表示它，依次有#c,d……再往上走可以用c1……，c2……来表示，而往下走可以用大写的C1……，C2……来表示。

历史

三分损益律、纯律、十二平均律，在中国同时存在。因此，也就出现异律并用的情况。在历史上，南朝宋、齐时清商乐的平、清、瑟三调和隋、唐九、十部乐的清乐中，都是琴、笙与琵琶并用；宋人临五代周文矩《宫中图》卷中的琴阮合奏，其时，琴上所用应是纯律，笙上所用当为三分损益律，琵琶与阮是平均律。可见，南北朝、隋唐、五代，都存在三律并用的情况。在现存的许多民间乐种中，也有琴、笙、琵琶、阮等乐器的合奏。因此，这种三律并用就成了中国传统音乐中存在的一。

钢琴调律

在朱载堉发表十二平均律理论之后52年，PereMarinMersenne在（1636年）其所著《谐声通论》中发表相似的理论。

德国作曲家巴赫于1722年发表的《谐和音律曲集》（另或译为《十二平均律曲集》英文：《The48》），有可能就是为十二平均律的键盘乐器所著。

巴赫著十二平均律

物理解释

十二平均律外国名著

现代流行歌曲演奏几乎采用十二平均律

由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一，所以这种现象古人早已熟悉。他们自然会想：如果八度音程的2:1的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式就能实现，那么试试按其它的位置会怎么样呢？数学上2:1是最简单的比例关系了，简单性仅次于它的就是3:1。那么，我们如果按住弦的1/3点，会怎么样呢？其结果是弦发出了两个高一些的音。一个音的频率是原来的3倍（因为弦长变成了原来的1/3），另一个音是原来的3/2倍（因为弦长变成了原来的2/3）。这两个音彼此也是八度音程的关系（因为它们彼此的弦长比是2:1）。这样，在我们要寻找的F-2F的范围内，出现了第一个重要的频率，即3/2F。（那个3F的频率正好处于下一个八度，即2F-4F中的同样位置。）

接着再试，数学上简单性仅次于3:1的是4:1，我们试试按弦的1/4点会怎样？又出现了两个音。一个音的频率是原来的4倍（因为弦长变成了原来的1/4），这和原来的音（术语叫“主音”）是两个八度音程的关系，可以不去管它。另一个音的频率是主音的4/3倍（因为弦长是原来的3/4）。我们又得到了一个重要的频率，4/3F。同一根弦，在不同的情况下振动，可以发出很多频率的声音。在听觉上，与主音F最和谐的就是3/2F和4/3F（除了主音的各个八度之外）。这个现象也被很多民族分别发现了。比如最早从数学上研究弦的振动问题的古希腊哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前6世纪）。我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”。具体说来是取一段弦，“三分损一”，即均分弦为三段，舍一留二，便得到3/2F。如果“三分益一”，即弦均分三段后再加一段，便得到4/3F。

得到这两个频率之后，是否继续找1/5点、1/6点等等继续试下去呢？不行，因为听觉上这些音与主音的和谐程度远不及3/2F、4/3F。实际上4/3F已经比3/2F的和谐程度要低不少了。古人于是换了一种方法。与主音F最和谐的3/2F已经找到了，他们转而找3/2F的3/2F，即与最和谐的那个音最和谐的音，这样就得到了（3/2）2F即9/4F。可是这已经超出了2F的范围，进入了下一个八度。没关系，不是有“等差音高序列”吗？在下一个八度中的音，在这一个八度中当然有与它等价的一个音，于是把9/4F的频率减半，便得到了9/8F。

接着把这个过程循环一遍，找3/2的3次方，于是就有了27/8F，这也在下一个八度中，再次频率减半，得到了27/16F。

就这样一直循环找下去吗？不行，因为这样循环下去会没完没了的。我们最理想的情况是某一次循环之后，会得到主音的某一个八度，这样就算是“回到”了主音上，不用继续找下去了。可是（3/2)^n，只要n是自然数，其结果都不会是整数，更不用说是2的某次方。律学所有的麻烦就此开始。

数学上不可能的事，只能从数学上想办法。古人的对策就是“取近似值”。他们注意到（3/2)^5≈7.59，和2^3=8很接近，于是决定这个音就是他们要找的最后一个音，比这个音再高一点就是主音的第三个八度了。这样，从主音F开始，我们只需把“按3/2比例寻找最和谐音”这个过程循环5次，得到了5个音，加上主音和4/3F，一共是7个音。这就是为什么音律上要取do、re、mi等等7个音符而不是6个音符或者8个音符的原因。

这7个音符的频率，从小到大分别是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。如果这里的F是do，那么9/8F就是re、81/64F就是mi……，这7个频率组成了7声音阶。这7个音都有各自正式的名字，在西方音乐术语中，它们分别被叫做主音（tonic）、上主音（supertonic）、中音（mediant）、下属音（subdominant）、属音（dominant）、下中音（submediant）、导音（leadingtone）。其中和主音关系最密切的是第5个“属音”so和第4个“下属音”fa，原因前面已经说过了，因为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。由于这个音律主要是从“属音”so即3/2F推导出来的，而3/2这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”，所以这种音律叫做“五度相生律”。西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯（所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagoreantuning），东方是《管子》一书的作者（不一定是管仲本人）。我国历代的各种音律，大部分也都是从“三分损益律”发展出来的，也可以认为它们都是“五度相生律”。

仔细看上面“五度相生律”7声音阶的频率，可以发现它们彼此的关系很简单：do-re、re-mi、fa-so、so-la、la-si之间的频率比都是9:8，这个比例被称为全音（tone）；mi-fa、si-do之间的频率比都是256:243，这个比例被称为半音（semitone）。“五度相生律”产生的7声音阶，自诞生之日起就不断被批评。原因之一就是它太复杂了。前面说过，如果按住弦的1/5点或者1/6点，得到的音已经和主音不怎么和谐了，居然出现了81/64和243/128这样的比例，这不会太好听吧？于是有人开始对这7个音的频率做点调整，于是就出现了“纯律”（justintonation）。

“纯律”的重点是让各个音尽量与主音和谐起来，也就是说让各个音和主音的频率比尽量简单。“纯律”的发明人是古希腊学者塔壬同（今意大利南部的塔兰托城）的亚理斯托森努斯（AristoxenusofTarentum）。（东方似乎没有人独立提出“纯律”的概念。）此人是亚理士多德的学生，约生活在公元前3世纪。他的学说的重点就是要靠耳朵，而不是靠数学来主导音乐。他的书籍留下来的只有残篇，不过可以证实的是他提出了所谓“自然音阶”。

自然音阶也有7个音，但和“五度相生律”的7声音阶有不小差别。7个自然音阶的频率分别是：F、9/8F、5/4F、4/3F、3/2F、5/3F、15/8F。确实简单多了吧？也确实好听多了。这么简单的比例，就是“纯律”。

可以看出“纯律”不光用到了3/2的比例，还用到了5/4的比例。新的7个频率中和原来不同的就是5/4F、5/3（=5/4×4/3）F、15/8（=5/4×3/2）F。

虽然“纯律”的7声音阶比“五度相生律”的7声音阶要好听，数学上也简单，但它本身也有很大的问题。虽然各个音和主音的比例变简单了，但各音之间的关系变复杂了。原来“五度相生律”7声音阶之间只有“全音”和“半音”2种比例关系，如今出现了3种：9:8（被叫做“大全音”，majortone，就是原来的“全音”）、10:9（被叫做“小全音”，minortone）、16:15（新的“半音”）。各位把自然音阶的频率互相除一下就能得到这个结果。更进一步说，如果比较自然音阶中的re和fa，其频率比是27/32，这也不怎么简单，也不怎么好听呢！所以说“纯律”对“五度相生律”的修正是不彻底的。事实上，“纯律”远没有“五度相生律”流行。

对于“五度相生律”的另一种修正是从另一个方向展开的。还记得为什么要取7个音符吗？是因为（3/2)^5≈7.59，和2^3=8很接近。可这毕竟是近似值，而不是完全相等。在一个八度之内，这么小的差距也许没什么，但是如果乐器的音域跨越了好几个八度，那么这种近似就显得不怎么好了。于是人们开始寻找更好的近似值。通过计算，古人发现（3/2)^12≈129.7，和2^7=128很接近，于是他们把“五度相生律”中“按3/2比例寻找最和谐音”的循环过程重复12次，便认为已经到达了主音的第7个八度。再加上原来的主音和4/3F，如今就有了12个音符。注意，“规范”音阶不是do、re、mi……等7个音符了，而是12个音符。这种经过修改的“五度相生律”推出的12声音阶，其频率分别是：F、2187/2048F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F。

和前面的“五度相生律”的7声音阶对比一下，可以发现原来的7个音都还在，只是多了5个，分别插在它们之间。用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是C、D、E、F、G、A、B。新多出来的5个音符于是被叫做C#（读做“升C”）、D#、F#、G#、A#。12音阶不能用do、re、mi的叫法了，应该被叫做：C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。把相邻两个音符的频率互相除一下，就会发现它们之间的比例只有两种：256:243（就是原来的“半音”，也叫做“自然半音”），2187:2048（这被叫做“变化半音”）。也就是说，这12个音符几乎可以说又构成了一个“等差音高序列”。它们之间的“距离”几乎是相等的。（当然，如果相邻两个音符之间的比例只有一种的话，就是严格的“距离”相等了。）原来的7声音阶中，C-D、D-E、F-G、G-A、A-B之间都相隔一个“全音”，如今则认为它们之间相隔了两个“半音”。这也就是“全”、“半”这种叫法的根据。

既然C#被认为是从C“升”了半音得到的，那么C#也可以被认为是从D“降”了半音得到的，所以C#和Db（读做“降D”）就被认为是等价的。事实上，5个新加入的音符也可以被写做：Db、Eb、Gb、Ab、Bb。

这种12声音阶在音乐界的地位，我只用举一个例子就能说明了。钢琴上的所有白键对应的就是原来7声音阶中的C、D……B，所有的黑键对应的就是12声音阶中新加入的C#、Eb……Bb。

从7声音阶发展到12声音阶的做法，在西方和东方都出现得很早。《管子》中实际上已经提出了12声音阶，后来的中国音律也大多是以“五度相生律”的12声音阶为主。毕达哥拉斯学派也有提出这12声音阶的。不过西方要到中世纪晚期才重新发现它们。

能不能把“五度相生律”的12声音阶再往前发展一下呢？可以的。12声音阶的依据就是（3/2）^12≈129.7，和2^7=128很接近，按照这个思路，继续找接近的值就可以了嘛。

还有人真的找到了，此人就是我国西汉的著名学者京房（77BC-47BC）。他发现（3/2）^53≈2.151×10^9，和2^31≈2.147×10^9也很接近，于是提出了一个53音阶的新音律。要知道古人并没有我们的计算器，计算这样的高次幂问题对他们来说是相当麻烦的。

当然，京房的新律并没有流行开，原因就是53个音阶也太麻烦了吧！开始学音乐的时候要记住这么多音符，谁还会有兴趣哦！但是这种努力是值得肯定的，也说明12声音阶也不完美，也确实需要改进。

“五度相生律”的12声音阶中的主要问题是，相邻音符的频率比例有两种（自然半音和变化半音），而不是一种。而且两种半音彼此差距还不小。（2187:2048）/（256:243）≈1.014。好像差不多哦？但其实自然半音本身就是256:243≈1.053了。

如果12声音阶是真正的“等差音高序列”的话，每个半音就应该是相等的，各个音阶就应该是“等距离”的。也就是说，真正的12声音阶可以把一个八度“等分”成12份。为什么这么强调“等分”、“等距离”呢？因为在音乐的发展过程中，人们越来越觉得有“转调”的必要了。

所谓转调，其实就是用不同的音高来唱同一个旋律。比方说，如果某一个人的音域是C～高音C（也就是以前的do～高音do），乐器为了给他伴奏，得在C～高音C之内弹奏旋律；如果另一个人的音域是D～高音D（也就是以前的re～高音re），乐器得在D～高音D之内弹奏旋律。可是“五度相生律”的12声音阶根本不是“等差音高序列”，人们会觉得C～高音C之内的旋律和D～高音D之内的旋律不一样。特别是如果旋律涉及到比较多的半音，这种不和谐就会很明显。可以说，如果钢琴是按“五度相生律”来决定各键的音高，那么只要旋律中涉及到许多黑键，弹出来的效果就会一塌糊涂。

这种问题在弦乐器上比较好解决，因为弦乐器的音高是靠手指的按压来决定的。演奏者可以根据不同的音域、旋律的要求，有意地不在规定的指位上按弦，而是偏移一点按弦，就能解决问题。可是键盘乐器（比如钢琴、管风琴、羽管键琴等）的音高是固定的，无法临时调整。所以在西方中世纪的音乐理论里，就规定了有些调、有些音是不能用的，有些旋律是不能写的。而有些教堂的管风琴，为了应付可能出现的各种情况，就预先准备下许多额外的发音管。以至于有的管风琴的发音管有几百甚至上万根之多。这种音律规则上的缺陷，导致一方面作曲家觉得受到了限制，一方面演奏家也觉得演奏起来太麻烦。

问题的根源还是出在近似值上。“五度相生律”所依据的（3/2）^12毕竟和2^7并不完全相等。之所以会出现两种半音，就是这个近似值造成的。

对“五度相生律”12声音阶的进一步修改，东、西方也大致遵循了相似的路线。比如东晋的何承天（370AD－447AD），他的做法是把（3/2）^12和2

^

一直到文艺复兴之前，西方音乐界通行的律法叫“平均音调律”（Meantonetemperament），就是在保证纯五度和纯四度尽量不受影响的前提下，把（3/2）^12和2^7之间的差距尽量分配到12个音上去。这种折衷只是一种无可奈何的妥协，大家其实都在等待新的音律出现。

十二平均律

十二平均律

十二平均律

十二平均律

十二平均律

终于还是有人想到了彻底的解决办法。不就是在一个八度内均分12分吗？直接就把2:1这个比例关系开12次方不就行了？也就是说，真正的半音比例应该是。如果12音阶中第一个音的频率是F，那么第二个音的频率就是F，第三个音就是F，第四个音是F，……，第十二个是F，第十三个就是F，就是2F，正好是F的八度。这是“转调”问题的完全解决。有了这个新的音律，从任何一个音弹出的旋律可以复制到任何一个其它的音高上，而对旋律不产生影响。西方巴洛克音乐中，复调音乐对于多种声部的偏爱，有了这个新音律之后，可以说不再有任何障碍了。后来的古典主义音乐，也间接地受益匪浅。可以说没有这个新的音律的话，后来古典主义者、浪漫主义者对于各种音乐调性的探索都是不可能的。

这种新的音律就叫“十二平均律”。首先发明它的是一位中国人，叫朱载堉（yù）。他是明朝的一位皇室后代，生于1536年，逝世于1611年。他用珠算开方的办法（珠算开12次方，难度可想而知），首次计算出了十二平均律的正确半音比例，其成就见于所著的《律学新书》一书。很可惜，他的发明，和中国古代其它一些伟大的发明一样，被淹没在历史的尘埃之中了，很少被后人所知。

西方人提出“十二平均律”，大约比朱载堉晚50年左右。不过很快就传播、流行开来了。主要原因是当时西方音乐界对于解决转调问题的迫切要求。当然，反对“十二平均律”的声音也不少。主要的反对依据就是“十二平均律”破坏了纯五度和纯四度。不过这种破坏程度并不十分明显。

频率

“十二平均律”的12声音阶的频率（近似值）分别是：F（C）、1.059F（C#/Db）、1.122F（D）、1.189F（D#/Eb）、1.260F（E）、1.335F（F）、1.414F（F#/Gb）、1.498F（G）、1.587F（G#/Ab）、1.682F（A）、1.782F（A#/Bb）、1.888F（B）。

十二平均律

将八度音等分为十二等分，其数学意义如下：

十二平均律

十二平均律中各音的频率（0.00001Hz）

C4:261.62557Hz

#C4:277.18263Hz

D4:293.66477Hz

#D4:311.12698Hz

E4:329.62756Hz

F4:349.22823Hz

#F4:369.99442Hz

G4:391.99544Hz

#G4:415.30470Hz

A4:440.00000Hz

#A4:466.16376Hz

B4:493.88330Hz

C5:523.25113Hz

十二平均律

正式的交响乐校音的基本a1的频率往往不是440Hz，为了让音乐更为明亮，交响乐的基准频率一般会提高至442Hz左右。