一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f﹣¹(x) 。反函数y=f ﹣¹(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为x=f(y)或者y=f﹣¹（x）。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的并不是幂。

中文名

反函数

外文名

Inverse Function

表达式

y=f﹣¹(x)

应用学科

数学

适用领域

解析几何学

特点

可逆性

定义

设函数

的定义域是D，值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得

，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数

的

反函数

，记为

由该定义可以很快得出函数f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函数

的值域和定义域，并且

的反函数就是f，也就是说，函数f和

互为反函数，即：

反函数与原函数的复合函数等于x，即：

习惯上我们用x来表示自变量，用y来表示因变量，于是函数

的反函数通常写成

。

例如，函数

的反函数是

。

相对于反函数

来说，原来的函数

称为

直接函数

。反函数和直接函数的图像关于直线

对称。这是因为，如果设(a,b)是

的图像上任意一点，即

。根据反函数的定义，有

，即点(b,a)在反函数

的图像上。而点(a,b)和(b,a)关于直线

对称，由(a,b)的任意性可知f和

关于

对称。

于是我们可以知道，如果两个函数的图像关于

对称，那么这两个函数互为反函数。这也可以看做是反函数的一个几何定义。

在微积分里，

(x)是用来指f的n次微分的。

若一函数有反函数，此函数便称为

可逆的（invertible）

。

存在性

概述

一函数f若要是一明确的反函数，它必须是一双射函数，即：

  • （单射）陪域上的每一元素都必须只被f映射到一次：不然其反函数将必须将元素映射到超到一个的值上去。
  • （满射）陪域上的每一元素都必须被f映射到：不然将没有办法对某些元素定义f的反函数。

若f为一实变函数，则若f有一明确反函数，它必通过水平线测试，即一放在f图上的水平线

必对所有实数k，通过且只通过一次。反函数存在定理

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设

的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点

和

，当

时，有

，则称

在D上严格单调递增；当

时，有

，则称

在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一

，有

而由于f的严格单增性，对D中任一

；任一

总之能使

的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数

。

任取f(D)中的两点

和

，设

<

。而因为f存在反函数

，所以有

，

，且

。

若此时

，根据f的严格单增性，有

，这和我们假设的

矛盾。

因此

，即当

时，有

。这就证明了反函数f也是严格单增的。

如果f在D上严格单减，证明类似。

性质

（1）函数f(x)与它的反函数

图象关于直线

对称；

（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数

，定义域是{0} 且

（其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（5）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（6）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；

（7）反函数是相互的且具有唯一性；

（8）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；

（9）反函数的导数关系：如果

在开区间I上严格单调，可导，且

那么它的反函数

在区间

内也可导，且：

（10）

的反函数是它本身。

反函数的符号

反函数的符号记为

，在中国的教材里，反三角函数记为arcsin、arccos等等，但是在欧美一些国家，sinx的反函数记为

。

表示

，那么

与这是否有些关系呢？下面举几个例子来说明这点。当然，

(肯定和

不等，但是确实有与之很相近的性质。反函数的反函数

为了好看以及对比，我有时会把f(x)写成f对比，我把我想各位应该很好理解，反函数的反函数当然就是原函数，写成数学语言就是

。看看，这是不是有点像指数的运算法则：

呢？反函数的导函数

如果函数

在区间Iy内单调、可导且

不等于零，则它的反函数

在区间

内也可导，且

或

。

用自然语言来说就是，反函数的导数，等于直接函数导数的倒数。这话有点绕，不过应该能读懂，这个似乎就进一步揭示了反函数符号的意义。

在这里要说明的是，

的反函数应该是

。只不过在通常的情况下，我们将x写作y，y写作x，以符合习惯。所以，虽然反函数和直接函数不互为倒数，但是各自导函数求出后，二者却是互为倒数。反函数的复合函数

这个内容属于高等数学的内容了。大伙想想函数里面最简单最基本的函数是什么函数？不用说，肯定就是我们的恒等函数

，这就和我们数字里面的1一般地位，所以，我们记恒等函数为“

”。

数字的基本运算就是加减乘除，而函数也有运算，虽然也有加减乘除，但是属于函数自己的，就是复合与反函数。我们知道在实数里，x与

的乘积等于1，在函数的复合运算里，也有类似的性质，函数f和g的复合记为

，那么下面的性质成立：

。

这第一个式子已经说明很多问题。实际上，这些都是属于高等代数的内容，在每一个封闭的系统里，都有一个“单位1”，都有自己的运算法则，函数里的就是

，实数里的就是数字1等等。要深刻理解这些，也只有大家接触群论以后才会深入理解。这里也只是做点皮毛而已。我将在后面另起一文，介绍函数的“幂”的概念，就如同数的幂一样。

说明

（1）在函数

中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数

中的字母x,y，把它改写成

，今后凡无特别说明，函数

的反函数都采用这种经过改写的形式。

⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数

来说，不一定有反函数，若函数

有反函数

，那么函数

的反函数就是

，这就是说，函数

与

互为反函数。

⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数一定有反函数，如二次函数在R内不是反函数，但在其单调增（减）的定义域内，可以求反函数；另外，反比例函数等函数不单调，也可求反函数。

⑷ 从映射的定义可知，函数

是定义域A到值域C的映射，而它的反函数

是集合C到集合A的映射，因此，函数

的定义域正好是它的反函数

的值域；函数

的值域正好是它的反函数

的定义域（如下表）：

函数：

；

反函数：

；

定义域： A，C；

值域： C，A；

⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：

若确定函数

的映射f是函数的定义域到值域上的“一一映射”，那么由f的“逆”映射

所确定的函数

(就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数

的定义域、值域分别对应原函数

的值域、定义域.。开始的两个例子：

则它的反函数就可以写为

，同样

记为

，则它的反函数为：

.

有时是反函数需要进行分类讨论，如：

，需将x进行分类讨论：在x大于0时的情况，x小于0的情况，多是要注意的。

一般分数函数

（其中

）的反函数可以表示为

，这可以通过简单的四则运算来证明。