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排序不等式（数学上的不等式之一）

110次浏览 | 更新时间：2023-07-06

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排序不等式是数学上的一种不等式，可以推导出很多有名的不等式，例如算术几何平均不等式、柯西不等式、切比雪夫总和不等式。排序不等式在高中数学竞赛大纲、新课标普通高中课程标准试验教科书(人民教育出版社)中介绍。

排序不等式

数学上的不等式之一

排序不等式是数学上的一种不等式。它可以推导出很多有名的不等式，例如：算术几何平均不等式(简称算几不等式)、柯西不等式、切比雪夫总和不等式。排序不等式（sequence inequality,又称排序原理）是高中数学竞赛大纲、新课标普通高中课程标准试验教科书（人民教育出版社）数学（选修4-5 第三讲第三节）要求的基本不等式。

基本信息

中文名	排序不等式
外文名	Rearrangement inequality
别名	排序原理
学科	数学

简要介绍

排序不等式表述如下，设有两组数a,a,……a和b,b,……b满足

是b,b,……b的乱序排列

则有

当且仅当

时等号成立。一般为了便于记忆，常记为：反序和≤乱序和≤顺序和.

主要应用

设

,则

的最大值为_______.

【解题指南】由于a,b,c的地位是均等的，不妨设

，然后利用排序不等式求解.

【解析】由排序不等式，得

的最大值为3.

答案：3

证明方法

①分析法

要证

只需证

根据基本不等式

∴原结论正确

②设有两个有序数组：

及求证： (顺序和≥乱序和≥逆序和)

其中

是自然数的任何一个排列

证明：令

由题设易知

因为

故

所以

即左端不等式，类似可证明右端不等式

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