一元一次方程（数学中的整式方程、线性方程）

研究历史

一元一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期。

一元一次方程

公元前1世纪左右，中国人在《九章算术》中首次加入了负数，并提出了正负数的运算法则，解决了移项问题。在“盈不足”一章中提出了盈不足术。但该方法并没有被用来解决一元一次方程。在11～13世纪时传入阿拉伯地区，并被称为“契丹算法”。

9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在《对消与还原》中给出了解方程的简单可行的基本方法，即“还原”和“对消”。但没有采用字母符号。体现了明显的方程的思想。

12世纪，印度数学家婆什迦罗在《丽拉沃蒂》一书中用假设法（设未知数）来解决一类一元一次方程。由于所假设的数可以是任意正数，婆什迦罗称上述方法为“任意数算法”。

一元一次方程

16世纪时，韦达创立符号代数之后，提出了方程的移项与同除命题，也创立了这一概念，被尊称为“现代数学之父”。但是韦达没有接受负数。

16世纪时，明代数学家程大位（1533-1606）在《算法统宗》一书中也用假设法来解一元一次方程。

1859年，中国数学家李善兰正式将这类等式译为一元一次方程。

定义

只含有一个未知数，且未知数的高次数是1，等号两面都是整式，这样的方程叫做一元一次方程（linear equation with one unknown）。其一般形式是：

求根方法

解一元一次方程有五步，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，所有步骤都根据整式和等式的性质进行。

以解方程

去分母，得：

以方程

消除分母上的分数，可化简为：

如果分母上有无理数，则需要先将分母有理化。

基本公式

对于关于x的一元一次方程

推导过程

一元一次方程

以方程

如图，作出函数

∵函数图象与x轴交于点

∴原方程的根是

方程应用

一元一次方程通常可用于做数学应用题。也可应用于物理、化学的计算，如给出液体密度和压强，通过

如在生产生活中，通过已知一定的液体密度和压强，通过公式代入解方程，进而计算液体深度的问题。例如计算大气压强约等于多高的水柱产生的压强，已知大气压约为100000帕斯卡，水的密度约等于1000千克每立方米，g约等于10米每二次方秒（10牛每千克），则可设水柱高度为h米，列方程得1000*10h=100000，解得h=10，即可得知大气压强约等于10米的水柱所产生的压强。

丢番图问题

希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两侧长起长长的胡子；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他再极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了。根据以上信息，算出：（1）丢番图的寿命；（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；（3）儿子死时丢番图的年龄。

解法：设丢番图的寿命x岁；

则

解得x=84,

∴丢番图开始当爸爸时的年龄：

儿子死时丢番图的年龄：

鸡兔同笼问题

“鸡兔同笼问题”是我国古算书《孙子算经》中的数学问题，其内容是：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。”译成现代汉语为：有若干只鸡和兔在同个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。笼中各有几只鸡和兔？

该问题可用一元一次方程解决，解法如下：

解法：设鸡有x只，兔有

由题意得：

解得：

∴

答：鸡有23只，兔有12只。

有限循环小数

化为分数问题

利用一元一次方程可以将一个有限循环小数化为分数，以为

设

可算出

方程意义

一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。如果仅使用算术，部分问题解决起来可能异常复杂，难以理解。而一元一次方程模型的建立，将能从实际问题中寻找等量关系，抽象成一元一次方程可解决的数学问题，通过验证一元一次方程解的合理性，达到解释和解决生活问题的目的，从一定程度上解决了一部分生产、生活中的问题。