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幂平均不等式（数学不等式证明中常用的不等式）

101次浏览 | 更新时间：2023-07-06

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幂平均不等式是在数学不等式的证明中常用的不等式，多次出现在省份高中数学联赛、全国高中数学联赛、CMO、IMO的代数问题中。总结一下：幂平均不等式

幂平均不等式

数学不等式证明中常用的不等式

幂平均不等式是在数学不等式的证明中常用的不等式，多次出现在省份高中数学联赛、全国高中数学联赛、CMO、IMO的代数问题中。

基本信息

中文名	幂平均不等式
外文名	Power-Mean Inequality
分类	数学定理
适用竞赛	高中数学联赛、全国高中数学联赛、 CMO 、 IMO

定义

幂平均不等式

幂平均不等式：设，且，则有成立，当且仅当时取等号。

加权的形式：设，且，则有成立，当且仅当时取等号。

其证明只需用到数学分析里的琴生不等式(即上下图形)，取辅助函数。

不等式的关系

均值不等式

令中的p分别等于-1,0,1,2，根据幂平均不等式，即可得;即：此即为均值不等式。

幂平均不等式

性质

幂的指数越大，则均值不等式的值越大;不等式的特殊情况就是常用的均值不等式。

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