无界集(unbounded set)即非有界集，若E⊆R，则E无界意味着对任意M>0，存在x∈E，使得|x|>M，或者说，E的直径为+∞，对实数集E来说，E无界还意味着E没有上界或没有下界，若E⊂R没有上界(下界)，即sup E=+∞(inf E=-∞)，则存在E中不同的点组成的点列an，使an→+∞(-∞)；反之也成立。有穷集必是有界集，因此，无界集必是无穷集。

外文名

unbounded set

所属学科

数学

相关概念

有界集，开、闭集，有界闭区域等

简介

无界集

无界集

无界集

对于平面点集E，如果存在某一个数r，使得，其中为坐标原点，则称E为

有界集

，否则称为

无界集

。例如，为有界闭区域，为无界开区域。

一般地，称点集E内两点问最大距离为该点集的

直径

。若点集E的直径是有限值，称E为

有界点集

，否则称为

无界点集

。

注：

(1)闭区域虽然包含有边界，但它也有可能是无界的；开区域是不含有边界的，但它也可能为有界域。

(2)开区域一定是开集，闭区域一定是闭集，而开集未必是开区域，闭集未必是闭区域。

基本介绍

点集

无界集

一个二元有序数组对应于平面内一个点，这种点的集合称为

平面点集

。三元有序数组的点集就称为空间点集。

无界集

无界集

无界集

例如，平面点集表示坐标平面上，以半径为1的圆的内部且包括圆周(图1中阴影部分)。

图1

区域(开区域)

无界集

区域分为平面区域和空间区域。

平面区域

是指平面上由一条或几条曲线围成的部分，而

空间区域

指空间上由一个或几个曲面围成的部分。连通的开集称为

开区域，

简称为

区域

。例如，就是一区域。邻域

无界集

无界集

无界集

设，在平面上给定一个点，则以为圆心、以为半径的圆区域

无界集

无界集

无界集

无界集

无界集

称为点的邻域，记为。有时，在讨论问题时，若不需要强调邻域的半径，点的邻域可简记为。

内点

无界集

设E为平面上的一个点集，如果点P属于E，且存在点P的某个邻域，使这邻域中的所有点都属于E，则称P为E的

内点

(图2中点)。

图2

外点

无界集

如果存在点P的某个邻域U(P)，使得，则称P为E的外点(图2中点)。边界点

无界集

无界集

若点P的任一邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E的点，则称点P为E的

边界点

(图2中点)。E的边界点的全体称为

边界

，通常记作。

开集

如果点集E的点都是E的内点，则称E为

开集

。例如，点集

无界集

无界集

无界集

中每个点都是的内点，故为开集。

闭集

无界集

开集连同它的边界构成的点集称为

闭集

。例如，集合就是一闭集。连通集

无界集

无界集

无界集

无界集

如果点集D内任意两点和，都可以用折线将和连接起来，且折线上的点都在D内，则称D为

连通集

。

闭区域

开区域连同它的边界一起所构成的点集称为

闭区域

。例如，点集就是一闭区域。