若不等式的不等号两边都是代数式，并且其中至少有一个是代数无理式，则称这样的不等式为无理不等式(irrational inequality)，或根式不等式，无理不等式常常转化为等价有理不等式(组)来求解。

外文名

irrational inequality

别名

根式不等式

简介

含有无理式的代数不等式

所属学科

数学（代数）

基本介绍

无理不等式是一种代数不等式，指含有无理式的代数不等式。解无理不等式的一般方法如下：

1.确定未知数的允许值范围。

2.通过变形化去不等式中的根号，把它转化为不含根式的不等式或不等式组或混合组。

3.求解不等式(组)。

4.取不等式(组)的解集与未知数允许值范围的公共部分。在化去根式时，常依据的同解定理有：

无理不等式

f(x)或设f(x)≥0，g(x)≥0，k∈N时，则

无理不等式

f(x)解无理不等式的关键是将无理不等式转化为有理不等式，在转化过程中，常常通过乘方的方法去掉根号，对于含有偶次根式的不等式，既要使各个根式都有意义，又要在进行偶次乘方时保证不等式两边的作负性，才能使变形保持同解。

含二次根式的无理不等式的解法，关键是把它同解变形为有理不等式(组)，其基本变形有：

无理不等式

无理不等式

或

无理不等式

例题解析

在被开方式中含有未知数的不等式叫无理不等式，无理不等式解法的主要思想是利用不等式乘方性质，去掉根号化为有理不等式和直接利用算术根的定义来解。

【例1】解下列不等式

无理不等式

解

解原不等式等价于解下列不等式组

无理不等式

解之得x>23/3，即为原不等式的解。

无理不等式

说明：一定要注意含有一个二次根式的无理不等式两种基本类型解法的区别，产生这种区别的原因在于类型，根据算术根的意义，当f(x) <0时，原不等式不可能成立，故此时无解。而

无理不等式

类型在f(x)<0时，是可能有解的。