三次插值法(cubic interpolation method)是一种多项式插值法，逐次以三次曲线φ(t)=a0+a1t+a2t+a3t的极小点逼近寻求函数f(t)的极小点的一种方法。具体做法是：设t1

外文名

cubic interpolation method

简介

一种多项式插值法

所属学科

数学

基本介绍

三次插值法是在1959年由Davidon首先提出来的，它是用三次插值

逼近

，而求

的近似最小点的一种迭代算法。

二次多项式逼近法也称抛物线法，它的原理是利用三个函数值来构造一个二次多项式逼近原来的函数。当函数的导数不难求得时，可以利用两个点处的函数与导数来构造三次多项式逼近原来的函数。

为了保证极小点在给定区间

的内部，要求函数在a点的右边下降，而在b点的右边上升。如果用a、b两点的导数表示，即

且

其几何意义如图1所示。

·

图1

相关分析

设三次多项式的一般形式为

其中

是四个待定系数，它可由a、b两点的函数值及其一阶导数

列出四个方程式，则可求得四个系数值。因为

若步长从a点计算起，即

，由此可得：

又若

，得

联立解(3)～(6)式得出：

现要求

在

内的极小点作为原目标函数F(x)的极小点的一个近似，为此要求出方程：

在

内的根，并根据极小点的充分条件，在此根处应有二阶导数大于零，即

式(11)的两个根

将式(13)代入式(12)，得

因为是求极小值，故根前应取正号，变换(13)式为：

三次插值法

得

当

时，

是二次插值的情况；如

，则是三次插值。