沃尔德分解(Wold decomposition)宽平稳过程的一种分解表示。.

简介

在数学中，特别是在算子理论中，

沃尔德分解

或

Wold-von

Neumann

分解

（以Herman Wold和John von Neumann命名）是给定希尔伯特空间上等距线性算子的分类定理。它指出，每一个等距都是单方面转变和单一经营者的直接总和。

在时间序列分析中，定理意味着任何平稳的离散时间随机过程都可以分解为一对不相关的过程，一个是确定性的，另一个是移动平均过程。

细节

让 H是Hilbert空间， L( H)是对有界运算符 H，和

是一个等距。该

沃尔德分解

指出，每一个等距 V采用的形式

对于一些索引集合 A，其中 S在单方面移上的Hilbert空间

，和 U是统一的操作（可能空洞）。家庭{ H}由同构希尔伯特空间。

一个证明可以勾画如下。 V的连续应用给出了 H同构地嵌入自身的下降序列的副本：

其中 V（ H）表示 V的范围。上面定义的

。如果一个定义

然后

很显然，

和

是 V的不变子空间。

所以

。换言之， V限制在

是一个满射等距，即， V。

此外，每个

同构于另一个，其中 V是

和

之间的同构： V“移动”

到

。假设每个

的维数是某个基数 α。我们看到

可以写成直和和Hilbert空间

其中每个

是一个不变子空间 V和 V限制在每个

是单侧移 S。因此

这是一个分解尔德 V  。

备注

从沃尔德分解中立即得出任何适当的，即非单一的等距的光谱是复平面上的单位圆盘。

等距 V被认为是，在上述证明的符号，

的

多重性

纯等距的 V是内核的尺寸 V *，即该指数的基数设定 阿在的尔德分解 V。换句话说，重数 N的纯粹等比例形式

在这个术语中，沃尔德分解表示一个等距作为一个纯粹的等距和一个单一的算子的直接和。

子空间 M被称为游荡子空间的 V如果

。特别地，上面定义的每个

是 V的一个漫游子空间。

由等轴测图产生的C * - 代数

考虑等距

。通过表示 C *（ V）的C * -代数通过生成 V，即 C *（ V）是多项式的范数闭合 V和 V *。沃尔德分解可以用来表征

。

设 C（

T

）是单位圆

T

上的连续函数。我们记得由单边移位 S产生的

采取以下形式

是一个Toeplitz算子与连续符号

和 K是一个紧算。

在此识别中，

其中 z是 C（

T

）中的恒等函数。代数 C *（ S）被称为Toeplitz代数。

定理（Coburn）

C *（ V）与Toeplitz代数是同构的， V是

的同构图像。

在Toeplitz代数的描述中，证明取决于与 C（

T

）的连接，幺正算子的谱包含在圆

T中

。

Toeplitz代数的下列性质将是需要的：

半换法器

是紧凑的。

沃尔德分解说 V是

的副本的直接和，然后是一个单一的 U：

所以我们调用连续泛函微分

，并定义

可以验证Φ是一种将单向偏移映射到 V的同构：

通过上面的性质1，Φ是线性的。地图Φ是单射因为 T不紧凑对于任何非零

，并且因此

意味着

。由于Φ的范围是C * -代数，Φ是满射由

的最小值。属性2和连续函数演算确保Φ保留*操作。最后，半拟合器的性质表明Φ是可乘的。所以定理成立。