定理介绍

类比圆幂定理有：

定理1

从球面外一点P向球面引割线，交面于Q、R两点；再从点P引球面的任一切线，切点为S，则

定理2

从球面外一点P向球面引两条割线，它们分别与球面相交于Q、R、S、T四点，则

定理3

定理3

定理1

定理2

设点P是球面内一点，过点P作两条直线，分别与球面相交于Q、R、S、T四点，则

.

定理1、2、3统称为球幂定理。

证明

具体证明可以通过P、Q、R、S、T五点在同一个平面内，划归为平面问题来解决，接下来的证明就和圆幂定理是一样的了。

证明如下：

因为直线QR与ST相交于点P，所以直线QR与ST共面。又因为这两条直线均与球O相交，所以Q、R、S、T四点共圆。然后就是圆幂定理的证明：（Q、R、S、T与下文中的A、B、C、D相对应）

图Ⅰ：相交弦定理。如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AD、BC，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：

，同理

，所以

。所以有：

，即：

。

图Ⅱ：割线定理。如图，连接AD、BC。可知

，又因为∠P为公共角，所以有

，同上证得:

。

图Ⅲ：切割线定理。如图，连接AC、AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有

，又因为∠P为公共角，所以有

，易证

。

图Ⅳ：PA、PC均为切线，则

，在直角三角形中：

，PO为公共边，因此

。所以

，所以

。

综上可知，

是普遍成立的。

圆幂定理的所有情况