合成平均是一种特殊平均，设a>b>0，a0=a，b0=b，an，bn(n=1，2，…)分别是an-1与bn-1的算术平均与调和平均，则limn→∞an=limn→∞bn=√(ab)，这说明几何平均可以通过算术平均与调和平均构成的数列得到，这种思想的一般化就是合成平均。

简介

几何平均、调和平均等的合成

举例

算术几何平均

所属学科

数学

基本介绍

合成平均是一种特殊平均，设a>b>0，a=a，b=b，a，b(n=1，2，…)分别是a与b的算术平均与调和平均，则

这说明几何平均可以通过算术平均与调和平均构成的数列得到。这种思想的一般化就是合成平均。

设a>b>0，M(a，b)，N(a，b)表示a，b的某两种平均，定义a=a，b=b，a=M(a，b)，b=N(a，b)，若

与

存在且相等，则这个极限值记为M N(a，b)，若

M N(a，a)=a，M N(a，b)=MN(b，a)，

则M N(a，b)称为a，b关于M与N的合成平均。前述结果可表示为G=A H，其中G，A，H分别表示几何平均、算术平均、调和平均，对任意实数p，q，幂平均M与M的合成平均M M总存在，且M M=M当且仅当p+q=r=0。合成平均可交换，即

M N=N M.

举例说明

算术-几何平均是一种特殊平均，即算术平均与几何平均的合成平均，设a=a>b=b>0，a=1/2(a+b)，b=√(a·b)，则a和b有共同的极限，这个极限称为a，b的算术-几何平均，一般记为AMG(a，b)，这是由高斯(C.F.Gauss)命名的。

合成平均

合成平均

设a和b是两个正数，定义数列 和 如下

合成平均

合成平均

合成平均

合成平均

合成平均

这里。由算术几何平均不等式，明显地， ．根据数学归纳法容易证明数列 是递减的，而 是递增的，等价于

合成平均

清楚地，

合成平均

进而得到

合成平均

因此，这两个数列有共同的极限，即

合成平均

合成平均

我们称该极限为a和b的

算术-几何平均

AGM(a，b)，也有一些文献用A G(a，b)表示这个平均.。Lagrange和Gauss首先研究了这个平均，但是这个平均真正的重要性以及与椭圆积分的联系属于Gauss，有时也称这个平均为Gauss算术-几何平均。