代数几何
研究多项式方程组在仿射或射影空间里的公共零点集合的几何特性的数学分支学科。换言之，它是研究代数簇的。代数几何与许多其他数学分支有着密切的联系。通常假设代数簇V中点的坐标在某个固定域k中选取，k称为V的基域。V为不可约(即V不能分解成两个比它小的闭代数子簇的并)时，V上所有有理函数(即两个多项式的商)全体也构成一个域，称为V的有理函数域，它是k的一个有限生成扩域。通过这样的一个对应关系，代数几何可以看成是用几何的语言和观点来研究有限生成扩域。
代数几何的基本问题就是代数簇的分类。包括双有理分类与双正则分类(即同构分类)。若一个代数簇V到另一个代数簇V的映射诱导了函数域之间的同构，则称该映射为双有理映射。设有两个代数簇V，V，若V中有一个稠密开集同构于V的一个稠密开集，则称V，V是双有理等价的。这等价于V和V的函数域之间的同构。按这个等价关系对代数簇进行分类就称为双有理分类。分类理论是这样建立的：首先，找出代数簇的双有理等价类；其次，在这个等价类中找到一个好对象的子集，如非奇异射影簇，对它们进行分类；第三步就是确定一个任意簇与这些好的对象相差多远。因为任意特征0的基域上的代数簇都双有理等价于一个非奇异射影簇，所以为实现这三步，人们往往先找一组与非奇异射影簇对应的整数，称为它的数值不变量。例如，在射影簇的情形，它的各阶上同调空间的维数就都是数值不变量。然后试图在所有具有相同的数值不变量的代数簇的集合上建立一个自然的代数结构，称为它们的参量簇，使得当参量簇中的点在某个代数结构中变化时，对应的代数簇也在相应的代数结构中变化。目前，只有代数曲线、一部分代数曲面以及少数特殊的高维代数簇有较完整的分类。
20世纪初期，由于抽象代数方法的引入，抽象域上的代数几何理论建立起来了。特别是在20世纪50年代，塞尔(Serre，J.P.)把代数簇的理论建立在层的概念上，并建立了凝聚层的上同调理论，这为格罗腾迪克(Grothendieck，A.)随后建立概形理论奠定了基础。概形理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的阶段。概形的概念是代数簇的推广。粗浅地，它允许点的坐标在任意有单位元的交换环中选取，并允许结构层中有幂零元。概形理论把代数几何和代数数域的算术统一到了一个共同的语言之下，这使得在代数数论的研究中可以应用代数几何中大量的概念、方法和结果。
20世纪以来，复数域上代数几何中的超越方法也有重大的进展，例如，德·拉姆(de Rham，G.-W.)的解析上同调理论，霍奇(Hodge，W.V.D.)的调和积分理论的应用，小平邦彦和斯潘塞(Spencer，D.C.)的变形理论以及格里菲思(Griffiths，P.)的一些重要工作。这使得代数几何的研究可以应用偏微分方程、微分几何、拓扑学等理论。
概形
概形是代数几何的基本研究对象。它实际上就是一个局部同构于仿射概形的局部环空间。更精确地，概形(X，O)是一个环空间，其拓扑空间X有一个开覆盖{X}，使得(X，O|X)同构于仿射概形Spec Γ(X，O)(这样的覆盖称为仿射开覆盖)。概形间的态射就是局部环空间的态射。概形的范畴是局部环空间范畴的子范畴。若概形X有一个仿射开覆盖{X}，使得每个仿射概形都是诺特概形、既约概形、正规概形或正则概形，则相应地称概形X是局部诺特的、既约的、正规的或正则的。这些性质都是概形的局部性质，就是说，只要存在一个仿射开覆盖具有上述某种性质，这个概形就具有此性质，而且任意一个仿射开子概形都有此性质。若概形X的拓扑空间是连通空间或不可约空间(即它不能表成两个不同真闭子集的并)，则称此概形为连通的或不可约的。
在研究概形的性质或有关的概念时，往往要考虑具有相同基础的概形。带有态射f：X→S的概形X称为S概形。若S=Spec A是仿射概形，则S概形简称A概形。显然任何概形都是Z概形。给出基变换态射S′→S后，可以得到一个S′概形X=X×S′，称为S概形X的基扩张。与S概形相关的概念称为相对概念，以区别于与概形相关的绝对概念。S概形与态射f：X→S密切相关。不同性质的态射就给出了不同的S概形。例如，设f：X→S是一个态射，若对角浸入X→X×X是闭态射，则称f是分离态射；若存在S的一个仿射开覆盖{U}={Spec B}，使得每个f(U)都有一个有限仿射开覆盖{V}={Spec A}，并且A都是有限生成B代数，则称f是有限型的；若f(U)=Spec A，A都是有限生成B模，则称f是有限态射。有限态射是仿射态射。代数几何中研究的S概形一般都是分离、有限型的。
代数簇
代数簇是代数几何的另一个基本研究对象。设k是一个域，域k上的代数簇就是一个整的、分离、有限型k概形。这里的基域k往往被取作代数闭域。若一个代数簇又是射影、拟射影、仿射或正常k概形，则把这个代数簇相应地称为射影、拟射影、仿射、完备(代数)簇。射影簇必定是完备簇，反之则不然。永田定理断言：对任意的代数簇X，必存在一个完备簇，使得X→是开浸入。代数簇的概念最早是在20世纪20年代由范·德·瓦尔登(Van der Waerden，B.L.)和诺特(Noether，E.)等提出的，以后又经过韦伊(Weil，A.)、塞尔(Serre，J.P.)等人的发展，直至格罗腾迪克(Grothendieck，A.)把它纳入概形体系，才得到上述的现代定义。
设S是一个概型，φ是概型X到S的态射，则称X是一个S-概型，如果S=SpecR，则称X是一个R-概型。设f是概型X到Y的态射，如果△： X→XX，x→(x，x)是闭的浸入，则称X在Y上可分，若Y=SpecR，则称X是可分的。态射f：X→Y称为有限型的，如果存在Y的仿射开覆盖{Y|λ∈∧} 使得每个X=f(Y) 可以被有限个仿射开子集覆盖，而X=SpecB，Yλ=SpecA每个B是有限生成的A代数。若X→SpecR是有限型的，则称X是R-代数的。设k是一个代数闭域，V是一个整的，可分的在k上代数的k-概型，则我们称V是k上的一个代数簇。设(X，φ)，(Y，φ)是S-概型，f： X→Y是态射，如果→f=φ，则称f是S-态射。设X，Y是R-概型，令E={ (U，φ)|U是X的稠密开子集，φ：U→Y是R-态射}，在E上引入等价关系 (U，φ)～ (V，φ) 当且仅当对于U∩V的某个稠密开子集W，|w=Φ|W。E/～的元素称为有理映射，若Y=Spec[X]，则称为有理函数，X上所有有理函数的集合记作Rat(X)。若V是域k上的代数簇，则Rat(V)称为V的函数域。设f是X到Y的有理映射，如果存在(U，φ)∈f，使得φ(U)是Y的稠密子集，则称f是控制的。设V，W是代数簇，f：V→W是控制的有理映射，如果存在有理映射g：W→V使得g◦f是恒等映射，则称f是双有理映射。V到V的所有双有理映射作成一个群，称为V的双有理同构群。如果有V到W的双有理映射，则称V与W双有理等价。一维的代数簇称为曲线，二维的代数簇称为曲面。曲面S上的曲线C是曲面S的一维闭子簇。
有理簇
有理簇(rational variety)是双有理等价于代数闭域上的射影空间的代数簇。它当然是最简单的代数簇。它可以等价地定义为代数闭域k上的代数簇X，X的有理函数域k(X)同构于域k的有限生成纯超越扩张。完备光滑有理簇的小平维数必为-∞，但反之不对。亏格等于0(即小平维数是-∞)的完备光滑曲线一定是有理曲线。当X是完备光滑曲面时，X是有理曲面的充分必要条件是χ(O)=1，P(X)=0。但是，对于维数超过2的情形，尚无一般的判别法则。
