在数学的代数拓扑分支中，拓扑空间X 与Y 之间函数f 的映射柱（mapping cylinder）是将任何一个映射用一个在如下意义下等价的上纤维化代替的方法。

外文名

mapping cylinder

所属学科

代数拓扑

定义

在数学的代数拓扑分支中，拓扑空间X与Y之间函数f 的

映射柱

（mapping cylinder）是将任何一个映射用一个在如下意义下等价的上纤维化代替的方法：

映射柱

映射柱

映射柱

映射柱

给定映射，映射柱由一个空间 与一个上纤维化 以及满同伦等价（事实上， Y是 的形变收缩）组成，使得复合等于 f。

映射柱

映射柱

这样空间 Y被一个同伦等价的空间 取代，映射 f被提升映射 代替。等价地，

图表

映射柱

被图表

映射柱

与这两个图表之间的一个同伦等价取代。

这个构造用于将拓扑空间之间的映射用拓扑等价的上纤维化取代。注意逐点一个上纤维化是一个闭包含映射。

构造

M的正式定义如下：

映射柱

映射柱

映射柱

映射柱

映射柱

映射柱

映射柱

这里l是单位区间，表示两个拓扑空间的不交并，是把 等同起来的等价关系（将柱 的一个底面通过 f与 Y黏合起来）。从而非正式地说，映射柱 是把 的一个底面用 f黏贴到 Y得到的构造。

映射柱

映射柱

映射柱

映射柱

定义 为（将 X包含到另一个底面）。定义 为 而在 M的 Y部分为恒同。根据等价关系 ~这是良定义的。

映射柱

注意到 Y是 的形变收缩。

映射柱

映射柱

投影 分裂（通过），形变收缩（取时间参数为 s）由下式给出：

映射柱

（这里所有 Y中的点不动，从而是一个形变收缩。）

应用

映射柱将关于子空间或空间包含的定理运用到到不必是单射的一般映射。

映射柱

因此，那些与空间、所涉及映射的同伦类无关的定理或方法（比如同调、上同调或同伦理论本身）可能可适用到X,Y,f，这里假设 以及 f事实上是子空间的包含。另外，这个构造更本质的吸引之处是它与通常心理的印象一个函数是将 X中的点“送到” Y中的点一致，从而X 嵌入Y 中也是（尽管函数不必是一对一的）。这个构造给出了一个图像同伦等价于直觉的那个，这表明直觉图像是正确的只要Y的形变不是一个阻碍。范畴应用与解释

我们可以用映射柱构造同伦极限：给定一个图表，将其中的映射用上纤维化代替（利用映射柱），然后取通常的逐点极限（需多些注意，但映射柱是其中一部分）。

映射柱

映射柱

相反地，映射柱是图表的同伦推出，这里 而。

映射望远镜

给定映射序列

映射柱

映射望远镜是同伦正向极限。如果所有这些映射已经是上纤维化（比如正交群），则正向极限是并集，但是一般情形必须使用映射望远镜。映射望远镜是一个映射柱序列，底面和底面相连。这个构造的图像看起来像堆起来的变大的柱子，即像一个望远镜，从而有这样的名称。

映射望远镜的正式定义为

映射柱

另见

• 映射柱 (同调代数)

• 非豪斯多夫映射柱