集合环(ring of sets)简称集环，是一种常见的集合代数。如果由集合构成的非空族R满足：A∈R和B∈R蕴涵A∪B ∈R，A-B∈R，则称R为一个集环。如果它还满足An∈R(n=1,2,…)蕴涵∪n=1An∈R，则称R为σ(集)环。如果把两个集合的对称差看作和，把两个集合的交看作积，则上面定义的集环就是在这两种运算下的代数意义上的环。对任何集合X，它的一切有限子集构成的族S是一个集环。左闭右开区间的一切有限并构成一个集环。设C是由集合X的一些子集构成的一个族，则一切包含C的集环(或σ环)的交是包含C的最小集环(或σ环)，称为由C生成的集环(或σ环)。

外文名

ring of sets

所属学科

数学

基本介绍

集合E的全体子集之集P(E)的任一非空子集，如果它对有限并及差的运算是稳定的，则称它为集合E的集（合）环，从而集环对于有限交运算亦是稳定的，例如，R上两两不相交的有界区间的有限并之全体构成R的集环，更一般地，R上两两不相交的有界长方体的有限并之全体构成Rn的集环，包含由集合E的子集所成的已知集合A的所有集环的交还是集环，称为由A生成的集环。

集合环的性质

集合环是一种常见的集合代数。若A为一非空集族，且对于任意

，

，均有

，

，则称A在集合的交、并运算下成一集合环，记为

.其中A称为集合环的基础集族，∩与

是集合环的运算.

是集合环的条件可以用符号表述为∀A∀B(A∈A∧B∈A→A∩B∈A∧A∪B∈A)。

集合环有下列性质：

1.设

，A，A，…，

，则：

,

，

.

2.设

是集合环，则

也是集合环。例如，

是集合环，当

时，称U是U的子集环，U是U的母集环。

3.对任何集族M，存在一个包含它的最小集合环

，使MA，这只要取M中有限个元素的有限交的有限并来构成A就行了。

集合代数

集合代数亦称幂集代数，是一种特殊的集合族的代数。如果集族A的元素对于指定的某些集合运算封闭，这些运算满足若干公理，就称集族A关于这些运算在指定公理体系下成为一个集合代数。例如，集合环、集合域等都是集合代数。这里A称为这个集合代数的基础集(族)，这些运算称为集合代数的运算。

常见的集合代数如下：

1.对于集合的并运算封闭的集族A作成的并代数：〈A，∪〉。

2.对于集合的交运算封闭的集族A作成的交代数：〈A，∩〉。

3.集合环：〈A，∩，∪〉。

4.集合域：〈A，∩，∪，〉。

5.以全集I的幂集P(I)为基础集的集合代数：〈P(I)，∩，∪，〉，“”表示集合的补运算，这种集合代数是一种布尔代数(参见“幂集代数”)。

集合代数与其他代数不同之点是：

1.它以集族为基础集合。

2.它的运算是集合运算。

3.它的公理体系就是在集合运算的基本性质上添上或不添上若干附加要求。