下调和函数(subharmonic function)亦称次调和函数，是亚调和函数的一个子类。若-f为上调和函数，则f称为同一区域内的下调和函数，此时，若φ(t)是t的单调增的凸函数，则φ°f为下调和函数。例如，当u(x)为D⊂R上的复值解析函数，实数α>0时，|u(x)|与αlog|u(x)|都是下调和函数。

外文名

subharmonic function

所属学科

数学

相关概念

上调和函数、亚调和函数等

定义

下调和函数

下调和函数

下调和函数

定义一：

设函数 在 上连续，则对，可以定义一个连续函数

下调和函数

下调和函数

下调和函数

下调和函数

下调和函数

即函数 在 上连续，在球B外部及边界 上等于，在球B内是调和函数。

下调和函数

下调和函数

下调和函数

定义二：

设 在区域 上连续，如果对，有

下调和函数

下调和函数

下调和函数

下调和函数

则称 为 上的上调和函数，简称

上调和函数

；如果对，有

下调和函数

下调和函数

下调和函数

则称 为 上的下调和函数，简称

下调和函数

。

下调和函数

下调和函数

下调和函数

下调和函数

定义三：

设函数 在 上连续，如果 上的上调和函数 均满足

下调和函数

下调和函数

下调和函数

下调和函数

下调和函数

则称 是 的一个

上函数

；如果 上的下调和函数 均满足

下调和函数

下调和函数

下调和函数

则称是的一个

下函数

。

相关性质

性质1

下调和函数

下调和函数

下调和函数

下调和函数

设函数 在 上连续，在 内是调和函数，则 既是上调和函数也是下调和函数。

性质2

下调和函数

下调和函数

设 是上（或下）调和函数，则 是下（或上）调和函数。

性质3

下调和函数

下调和函数

下调和函数

设 与 都是上（或下）调和函数，则 也是上（或下）调和函数。

性质4

下调和函数

下调和函数

下调和函数

下调和函数

设 为 上的上（或下）调和函数，则除 恒等于常数外，它只能在边界 上取到最小值（或最大值）。

利用上调和函数与下调和函数的定义，容易证明性质1到4。

性质5

下调和函数

设 都是上调和函数，则函数

下调和函数

也是上调和函数。

下调和函数

下调和函数

证明：

由 易知， 。

下调和函数

下调和函数

下调和函数

另一方面，对 ,由 定义可知，对，有

下调和函数

下调和函数

并对，有

下调和函数

下调和函数

下调和函数

故由，并根据极值原理可知，对有

下调和函数

下调和函数

下调和函数

综上可知， ，且对，有

下调和函数

下调和函数

下调和函数

即 为 上的上调和函数。

性质6

下调和函数

下调和函数

下调和函数

设 为 上的上调和函数，则 也是上调和函数。

性质7

下调和函数

下调和函数

下调和函数

下调和函数

下调和函数

设函数 在 的边界 上连续，则 的任意一个上函数都不小 任意一个下函数。

下调和函数

下调和函数

下调和函数

下调和函数

下调和函数

证明:

设是的任意一个上函数，是的任意一个下函数，则对，有

下调和函数

下调和函数

下调和函数

下调和函数

下调和函数

下调和函数

并由性质2及性质3可知，是上的上调和函数，故由性质4可知，在上取最小值，即对，有

下调和函数

下调和函数

下调和函数

下调和函数

下调和函数

从而在内，不小于。即对有

下调和函数

性质8

下调和函数

下调和函数

设 都是 的上函数，则函数

下调和函数

下调和函数

也是的上函数。

性质9

下调和函数

下调和函数

下调和函数

下调和函数

设 是 的上函数，则函数 也是 的上函数。