群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。如果群G的非空子集合H对于G的运算也成一个群，那么H称为G的子群。

极大子群(maximal subgroup)是一种重要的子群。是有限群的子群。极小子群是一种重要的子群。极大子群的对偶概念。

概念

极大子群(maximal subgroup)是一种重要的子群。是有限群的子群。即在包含的意义下极大的真子群。它是群G的真子群H，且G与H之间无G的其他真子群。若H是群G的真子群，并且，对于G的真子群K，由

得出

，则称H是G的极大子群。

群

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，

(2)结合律，即

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得

，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群；时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

子群

如果群G的非空子集合H对于G的运算也成一个群，那么H称为G的子群。

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为

。若子群

，则称H为G的真子群，记为

。任何一个非单位元群G至少有两个子群，G自身以及由单位元e作成的单位元群

(或用{1}或1表示)，称它们为G的平凡子群。不是平凡子群的子群称为非平凡子群。群G的非空子集H为G的子群的充分必要条件是：对任意的

，恒有

。若

是G的子群的集合，I是一个指标集，则所有H的交H是G的一个子群。

对偶概念——极小子群

极小子群是一种重要的子群。极大子群的对偶概念。指在包含的意义下，群的最小的非平凡真子群。它是群G的真子群K，且K除了单位元群

为真子群以外无其他真子群。若K是群G的真子群，

，并且，对于G的真子群H，由

得出

或

，则称K是G的极小子群。

有限群

循环群的任一直积是有限交换群。反之，任一有限交换群必具有这种形式。特别，其阶为素数的所有有限群皆是循环群。

任一有限群(不一定是交换的)同构于一有限集的置换群的一个子群。目前，人们还没有弄清楚有限群的分类。

非交换的有限群之研究目前基本上停留在p-群的概念上。这是指其阶为一个素数p的幂的有限群。有限群G的所有最大p-子群叫做G的西罗子群；G的所有西罗p-子群都是共轭的，而它们的公共阶是能整除G的阶的p之最大幂。

具有有限多个元素的群，是群论的重要内容之一。其所含元素的个数，称为有限群的阶。历史上，抽象群论的许多概念起源于有限群论。有限群可分为两大类：可解群与非可解群(即单群)。

有限群的研究起源很早，其形成时期是与柯西、拉格朗日、高斯、阿贝尔以及后来的伽罗瓦、若尔当等人的名字相联系的。如何确定可解群和单群是抽象群理论建立后的一个重要发展方向。德国数学家赫尔德在1889年以后的若干年内，详细地研究了单群和可解群，证明：一个素数阶循环群是单群，n个(

)文字的全部偶置换组成的交换群是单群。他还发现了许多其他有限的单群。赫尔德和若尔当还建立了在有限群中的若尔当—赫尔德合成群列和若尔当—赫尔德定理。在19世纪末，德国数学家弗罗贝尼乌斯、迪克和英国数学家伯恩塞德等都致力于可解群的研究。20世纪初伯恩塞德证明的关于

必是可解群的定理，导致了对有限单群进行分类的重要研究。美国数学家汤普森和菲特在20世纪60年代初证明了有限群中长期悬而未决的一个猜想(见伯恩塞德猜想)：奇数阶群一定是可解群。它推动了有限群理论的发展。有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经过上百名数学家约40年的共同努力，终于在1981年得到解决，这是数学史上的一个非凡成就。