给定向量组A:α1、α2、……、αm和向量β，如果存在一组数λ1、λ2、……、λm使β=λ1α1+λ2α2+……+λmαm，则向量β是向量组A的线性组合，这时称向量β能由向量组A线性表示。

相关结论

向量组

能由向量组

线性表示的充要条件是矩阵

的秩等于矩阵

的秩。（若

向量组A向量的个数，则向量组B由向量组A线性表示是唯一的；若

向量组A向量的个数，则向量组B由向量组A线性表示不是唯一的；若

，则向量组B不能由向量组A线性表示。）>

注意，此处向量组R(B)指的是R（A,B）

2.向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量A的秩。反之不一定成立。

3.① 一个向量可由向量组中其余向量线性表示，前提是这个向量组线性相关。

②但线性相关的向量组中并不是任一向量都可由其余向量线性表示。

③但当其余向量线性无关时，这个向量必可由其余向量线性表示。

4.零向量可由任一组向量线性表示。

5.向量组

，

，

，……，

中每个向量都可由向量组本身线性表示。

6.任一n唯向量

都可由n唯单位向量组线性表示。

7.设

，

，

，……，

线性无关，而

，

，……，

，

线性相关，则

可由

，

，

，……，

线性表示，且表示是唯一的。

证明：如果存在一组数

,

, ···,

,

, 使，且

，故，即

可由

，

，

，……，

线性表示。

唯一性：设存在两组数

,

, ···,

、

,

, ···,

，使

，

，两式相减得

，∵

，

，

，……，

线性无关，故

，

，

，∴表示是唯一的。