投影变形（投影变形）

基本介绍

一、变形的概念

各种投影后经纬线形式插图或打开世界地图，经投影后经纬网的形状和地球仪上的大不相同，进一步比较会发现有的图在长度、面积、角度等方面发生了变形，也即产生了误差。如果我们对球面上经纬线网格的形状有明确的认识，就可以看出地图网格变形的大致情况，同时也就可以看出地理内容变形的大致情况。

三、投影变形的相关概念

2. 长度比和长度变形

设地球球面上有一微小线段ds,投影到平面上为ds’,如图所示。

平面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度比。用公式表示为：

μ=ds’/ds

长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不同而变化，还随着方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之比。

通常研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比，而只研究一些特定方向的长度比，即研究最大长度比（a）和最小长度比（b）,经线长度比（m）和纬线长度比（n）。投影后经纬线成直交者，经纬线长度比就是最大和最小长度比。投影后经纬线不直交，其夹角为θ,则经纬线长度比 m、n和最大、最小长度比a、b之间具有如下关系：根据解析几何中阿波隆尼亚定理

m+n=a+b

m·n·sinθ=a·b

用长度比可以说明长度变形。所谓长度变形就是长度比（μ）与1之差，用表v示长度变形则：v=μ-1

由此可知，长度变形有正负之分，长度变形为正，表示投影后长度增加；长度变形为负表示投影后长度缩短；长度变形为零，则长度无变形。

2.主比例尺和局部比例尺

平常地图上注记的比例尺，称之为主比例尺，它是运用地图投影方法绘制经纬线网时，首先把地球椭球体按规定比例尺缩小如，制1：100万地图，首先将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，那么1：100万就是地图的主比例尺。由于投影时有变形，所以主比例尺仅能保留在投影后没有变形的点或线上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。

注意长度比、长度变形与地图比例尺的区别。

3.主方向

由于投影要产生变形，所以球面上两条相互垂直的微小线段投影后不一定正交，例如设o是球面上两条互相垂直的微小线段，过o作两条垂线ac和 bd，投影后a’c’和b’d’。即地球面上角aob和角boc为直角投影后分别为锐角a’o’b’和钝角b’o’c’。

设想ac、bd二垂线相对位置保持不便，并绕o点顺时针旋转，当旋转90度时，直角aob转到原来boc的位置，这时投影由原来的锐角转变成钝角；同样的，直角boc转到了cob的位置它的投影由原来的钝角变为锐角。由此可见，一个直角在不同的位置下的投影有着不同的的大小，可以由锐角变为钝角，或者相反。

那么在变化的过程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二直交直线方向，称之为主方向。

在主方向上，具有极大和极小长度比

3. 变形椭圆

在地球球面上取一微小圆，它在平面上的投影除在接触点位置外，一般情况下为椭圆（投影演示），下面我们用数学方法验证一下。

设o为球面上一点，以它为圆心的微小圆的半径是单位长度（为1），M(x,y)圆上一点，圆心曲线方程为

x+y=1

o’为o的投影，以主方向作为坐标轴，M‘（x’,y’）是M（x,y）的投影，令主方向长度比为a和b，则:

x’/x= a, y’/y= b

则:x =x’/a, y =y’/b

(x,y)为圆上一点，将其代如圆的方程，得

x/a+y/b=1

这是一个椭圆方程，这表明该微小圆投影后为长半径为a短半径为b的椭圆，这种椭圆可以用来表示投影的变形，故叫做变形椭圆。

在研究投影时，可借助变形椭圆与微小圆比较，来说明变形的性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比，可以说明长度变形。很明显的看出长度变形是随方向的变化而变化，在长短半径方向上有极大和极小长度比a和b，而长短半径方向之间，长度比μ，为b<μ

5.面积比与面积变形

投影平面上的微小面积与球面上相应微小面积之比，称为面积比。以投影面上变形椭圆的面积dF’=abπ,相应球面上微小圆的面积dF=1π为例，以P表示面积比，则：

P=dF’/dF=abπ/π=ab

上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬线方向就是主方向时：

P=mn

若经纬线方向不是主方向时，则面积比

P=mnsinθ(θ为投影后经纬线夹角)

面积比是个变量，它随点位置不同而变化。

面积变形就是面积比与1之差，以Vp表示。

Vp=p-1

面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积变形为负，表示投影后面积缩小。

6.角度变形

投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线夹角之差，称为角度变形。过一点可以做许多方向线，每两条方向线均可以组成一个角度，这些角度投影到平面上之后，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成的角度产生的变形一般也不一样。

7.等变形线

在各种投影图上，都存在着误差或变形。并且各不同点的变形数量常常是不一样的，为了便于观察和了解绘制区域变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征。等变形线就是变形值相等的各点的连线，它是根据计算的各种变形的数值（如p,w）绘于经纬线网格内的，如面积等变形线。

等变形线在不同的投影图上，具有不同的形状，在方位投影中，因投影中心点无变形，从投影中心向外变形逐渐增大，等变形线成同心圆状分布。

等变形线通常是用点虚线来表示的。（看投影图上的等变形线）