间断点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。

间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。如果极限存在就是可去间断点，不存在就是跳跃间断点。

中文名

间断点

外文名

point of discontinuity

词性

名词

类型

可去间断点，跳跃间断点等

概念

某点处xo处有中断现象

所属科目

数学

应用学科

数学

定义

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

（1）函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等、即

；

（2）函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在；

（3）函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

类型

几种常见类型。

可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数

在点

处。（图一）

跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数

在点

处。（图二）

无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数

在点

处。（图三）

振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数

在

处。（图四）

可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。

由上述对各种间断点的描述可知，函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在，而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在，这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。

间断点

间断点

例子

可去不连续点

1. 考虑以下函数：

点

是可去不连续点。

2. 考虑以下函数：

点

是跳跃不连续点。

3. 考虑以下函数：

点

是第二类不连续点，又称本性不连续点。