一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数（direct proportion function）。

一次函数及其图象是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。

中文名

一次函数

外文名

Linear function

表达式

y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）

提出者

莱布尼茨

应用学科

数学

适用领域

计算机，数学

函数由来

“函数”一词最初是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪首先采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，即

，

，….接下来莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等所有与曲线上的点有关的变量。就这样“函数”这词逐渐盛行。

在中国，古时候的人将“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，清代数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国的古代人还用“天、地、人、物”4个字来表示4个不同的未知数或变量，显然，在李善兰的这个定义中的含义就是“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”这样，在中国“函数”是指公式里含有变量的意思。

一次函数

瑞士数学家雅克·柏努意给出了和莱布尼茨相同的函数定义.1718年，雅克·柏努意的弟弟约翰·柏努意给出了函数了如下的函数定义：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数。换句话说，由x和常量所构成的任一式子都可称之为关于x的函数。

1775年，欧拉把函数定义为：“如果某些变量：以某一种方式依赖于另一些变量。即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数.”由此可以看到，由莱布尼兹到欧拉所引入的函数概念，都还是和解析表达式、曲线表达式等概念纠缠在一起。

首屈一指的法国数学家柯西引入了新的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值也可随之而确定时，则将最初的变数称之为‘自变数’，其它各变数则称为‘函数’”.在柯西的定义中，首先出现了“自变量”一词。

1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化。函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的”.这个定义指出了对应关系。即条件的必要性，利用这个关系以求出每一个x的对应值。

1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数。[1]”

德国数学家黎曼引入了函数的新定义：“对于x的每一个值，y总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x，y之间的对应方法如何，均将y称为x的函数。”

上面函数概念的演变，我们可以知道，函数的定义必须抓住函数的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式。

由此，就有了我们课本上的函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

表示方法

一次函数有三种表示方法，如下：

1、解析式法

一次函数

用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。

2、

列表法

把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。

3、图像法

用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。

解析式

一次函数的解析式为：

其中m是斜率，不能为0；x表示自变量，b表示y轴截距。且m和b均为常数。先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的斜率，从而得出解析式。该解析式类似于直线方程中的斜截式。

基本性质

函数性质

1. y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：

（k不等于0，且k，b为常数）。

2. 当

时，b为函数在y轴上的交点，坐标为(

)。

当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为

。

3. k为一次函数

的

斜率，

(角θ为一次

函数图象

与x轴正方向夹角，

)。

4. 当

时(即

)，一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

5. 函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行；

一次函数

当k不同，且b相等，图象相交于Y轴；

当k互为负倒数时，两直线垂直。

6. 平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。

图像性质

1. 作法与图形：通过如下3个步骤：

（1）列表：每确定自变量x的一个值，求出因变量y的一个值，并列表；

（2）描点：一般取两个点，根据“两点确定一条直线”的道理，即在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。

一般地，

的图象过

和

两点即可画出。

正比例函数

的图象是过坐标原点的一条直线，一般取

和

两点画出。

（3）连线：可以作出一次函数的图象——一条

直线

。因此，作一次函数的

图象

只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是与

，

）

2. 性质：（1）在一次函数上的任意一点

，都满足等式：

。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是

，与x轴总是交于

正比例函数

的图象都是过原点。

3. 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

4. k，b与函数图象所在

象限

：

y=kx时（即b等于0，y与x成正比，此时的图象是一条经过原点的直线)

一次函数

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

（k,b为常数，k≠0）时：

当

这时此函数的图象经过一，二，三象限；

当

这时此函数的图象经过一，三，四象限；

当

这时此函数的图象经过一，二，四象限；

当

这时此函数的图象经过二，三，四象限。

当

时，直线必通过一、二象限；

当

时，直线必通过三、四象限。

特别地，当

时，直线通过原点

表示的是正比例函数的图象。

这时，当

时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k<0时，直线只通过二、

四象限

，不会通过一、三象限。

5. 特殊位置关系

当

平面直角坐标系

中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等。

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数。

6. 直线

的图象和性质与k、b的关系如下表所示：

：经过第一、二、三象限

：经过第一、三、四象限

：经过第一、三象限（经过原点）

结论：

时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。

：经过第一、二、四象限

：经过第二、三、四象限

：经过第二、四象限（经过原点）

结论：

时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。

7. 将函数向上平移n格，函数解析式为

，将函数向下平移n格，函数解析式为

，将函数向左平移n格，函数解析式为

，将函数向右平移n格，函数解析式为

。

位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为相反数。

关于平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为相反数的证明：

一次函数

如图，这2个函数互相垂直，但若直接证明，存在困难，不易理解，如果平移平面直角坐标系，使这2个函数的交点交于原点，就会更简单。就像这一样，可以设这2个函数的表达式分别为；

。

在x正半轴上取一点

（便于计算），做与y轴平行的直线，如图，可知

，由勾股定理可得：

又有

，得

(因为b小于0，故为

）

化简得：

即

所以两个K值的乘积为-1。

注意：与y轴平行的直线没有函数解析式，与x轴平行的直线的解析式为常函数，故上述性质中这两种直线除外。

学习方法

知识要点

1.要理解函数的意义。

2.联系实际对函数图象的理解。

3.随图象理解数字的变化而变化。

误区提醒

1.对一次函数概念理解有误，漏掉一次项系数不为0这一限制条件；

2.对一次函数图象和性质存在思维误区；

3.忽略一次函数自变量取值范围；(有时x∈Z ,其图象表现为非连续性的点的集合）

一次函数

4.对于一次函数中，把自变量认为不能等于零。

和方程的异同

1.一次函数和一元一次方程有相似的表达形式。

2.一次函数表示的是一对

之间的关系，它有无数对解；一元一次方程表示的是未知数x的值，最多只有1个值。

3.一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根。

4、以二元一次方程组ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数

的图象相同。

5、二元一次方程组

，

的解可以看作是两个一次函数

和

的图象的交点。和不等式关系

从函数的角度看，解不等式的方法就是寻求使一次函数

的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围的一个过程；

从函数图像的角度看，就是确定直线

在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。

对应一次函数

，它与x轴交点为

。

当

时，不等式

的解为：

，不等式

的解为：

；

当

的解为：不等式

的解为：

，不等式

的解为：

。

函数应用

概括整合

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。

一次函数

（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

常用公式

1.求函数图象的k值：

，即

（α为直线与x轴正方向的夹角）

2.求与x轴平行线段的中点：

3.求与y轴平行线段的中点：

4.求任意线段的长度：

5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式

一次函数

两个一次函数

，

，令

，得

。将解得的

值代回

，

两式的任一式，得到

，则

即为 y

与

之交点坐标。

6.求任意2点所连线段的中点坐标：(

,

)

7.求任意2点的连线的一次函数解析式：

（若分母为0，则分子为0）

(x,y)的正负性为 +，+（正，正）时该点在第一象限

(x,y)的正负性为 -，+（负，正）时该点在第二象限

(x,y)的正负性为 - ，-（负，负）时该点在第三象限

(x,y)的正负性为 +，-（正，负）时该点在第四象限

8.若两条直线

，

互相平行，则

，

9.如两条直线

，

互相垂直，则

10.设原直线为

就是直线向右平移n个单位

就是直线向左平移n个单位

就是向上平移n个单位

就是向下平移n个单位

一次函数

口诀：左加右减相对于X，上加下减相对于b。

11.直线

与x轴的交点：

，与y轴的交点：

生活中的应用

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

。

2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。

。

3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即

（k为任意正数）。常见题型

常见题型一次函数及其图象是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。

其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对大家的学习有所帮助。

一. 定义型

例1. 已知函数

是一次函数，求其解析式。

一次函数

解：由一次函数定义而知

，故一次函数的解析式为

。

注意：利用定义求一次函数

解析式时，要保证

。如本例中应保证

。

二. 点斜型

例2. 已知一次函数

的图象过点(2, -1)，求这个函数的解析式。

解：一次函数 的图象过点(2, -1)， ，即

。故这个一次函数的解析式为

。

变式问法：已知一次函数

，当

时，

时，求这个函数的解析式。

三. 两点型

例3.已知某个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4)，则这个函数的解析式为_____。

解：设一次函数解析式为

由题意得

故这个一次函数的解析式为

。

四. 图像型

例4. 已知某个一次函数的图象如图所示，则该函数的解析式为__________。

解：设一次函数解析式为

由图可知一次函数 的图象过点(1, 0)、(0, 2) 有

所以

故这个一次函数的解析式为

五. 斜截型

例5. 已知直线

与直线

平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。

解析：两条直线； 。当

，

时，

∴直线

与直线

平行 。又 直线

在y轴上的截距为2，故直线的解析式为

或

。

六. 平移型

例6. 把直线

向下平移2个单位得到的图象解析式为___________。

解析：设函数解析式为

，直线

向下平移2个单位得到的直线

与直线

平行

直线

在y轴上的截距为

，故图象解析式为。

七. 实际应用型

例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。

解：由题意得

，即

，

一次函数

故所求函数的解析式为

（ ）

注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围，别忘了考虑变量存在等于0的情况。

八. 面积型

例8. 已知直线

与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。

解：易求得直线与x轴交为止为止，所以

，所以

，即

故直线解析式为

或

。

九. 对称型

若直线 与直线

关于

（1）x轴对称，则直线 的解析式为

；

（2）y轴对称，则直线 的解析式为

；

（3）直线

对称，则直线 的解析式为；

（4）直线

对称，则直线 的解析式为；

（5）原点对称，则直线 的解析式为

。

例9. 若直线l与直线

关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。

解：由（2）得直线l的解析式为

。

十. 开放型

例10. 已知函数的图象过点A(1, 4)，B(2, 2)两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。

解：

（1）若经过A、B两点的函数图象是直线，由两点式易得

一次函数

（2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图象还可以是双曲线

，解析式为。

（3）其它（略）

十一. 几何型

例11. 如图，在平面直角坐标系中，A、B是x轴上的两点，以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为(0, 3)。（1）求图象过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；（2）求图象过点E、F的一次函数的解析式。

解：（1）由直角三角形的知识易得点

、

，由待定系数法可求得二次函数解析式为，对称轴是

；

（2）连接OE、OF，过E、F分别作x、y轴的垂线，垂足为M、N、P、G，易求得E 、F ，由待定系数法可求得一次函数解析式为。

十二. 方程型

例12. 若方程

的两根分别为，求经过点P 和Q 的一次函数图象的解析式

解：由根与系数的关系得

，

，

点P(11, 3)、Q(-11, 11)

设过点P、Q的一次函数的解析式为

则有

解得

故这个一次函数的解析式为。

其它相关

函数和方程

1. 从形式上看：一次函数

，一元一次方程

。

2. 从内容上看：一次函数表示的是一对(x, y)之间的关系，它有无数对值；一元一次方程表示的是未知数x的值，最多只有1个值。

3. 相互关系：一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根。例如：

与x轴的交点是(-2, 0)、则一元一次方程

的根是

。

函数和不等式

解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数

的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；

从函数图象的角度看，就是确定直线

在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。

对应一次函数

，它与x轴交点为

。

当

时，不等式

的解为：

，不等式

的解为：

；

当

的解为：不等式

的解为：

，不等式

的解为：

。

与

二元一次方程

的关系

1. 以二元一次方程组

的解为坐标的点组成的图象与一次函数

的图象相同。

2. 二元一次方程组

,

的解可以看作是两个一次函数

和

的图象的交点。

方法小结

把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式，然后作出它们的图象，找出两图像的交点，即可知方程组的解。

区别

二元一次方程有两个未知数，而一次函数只是说未知数的次数为一次，并未限定几个变量，因此二元一次方程只是一次函数中的一种。

1. 面直角坐标系中分别描绘出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上。如方程

有无数组值，像

以这些解为坐标的点(1, 3)，(2, 1)…都在一次函数

的图象上。

2. 一次函数图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程。如在一次函数

的图象上任取一点(3, -1)，则

一定是二元一次方程

的一组解。