设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

中文名

复合函数

外文名

composite function

应用学科

数学

特性

单调性，周期性

类别

函数

定义

设y是u的函数

，u是x的函数

，如果φ(x)的值全部或部分在f(x)的定义域内，则y通过u成为x的函数，记作

，称为由函数

与

复合而成的复合函数。

如

等都是复合函数。

而

就不是复合函数，因为任何x都不能使y有意义。由此可见，不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数。

复合函数通俗地说就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中不一定只含有两个函数，有时可能有两个以上，如y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，则函数

是x的复合函数，u、v都是中间变量。

定义域

若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

求函数的定义域主要应考虑以下几点：

⑴当为整式或奇次根式时，R的值域；

⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；

⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；

⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。

⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。

⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。

⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求

⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。

⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。

⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

周期性

设y=f(u)的最小正周期为

,μ=φ(x)的最小正周期为

,则y=f(μ)的最小正周期为

，任一周期可表示为

(k属于

).

单调（增减）性

决定因素

依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“

同增异减

”。

基本步骤

判断复合函数的单调性的步骤如下

：

⑴求复合函数的定义域；

⑵将复合函数分解为若干个常见函数（一次、二次、幂、指、对函数）；

⑶判断每个常见函数的单调性；

⑷将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；

⑸求出复合函数的单调性。

例题

例如：讨论函数y=

的单调性。

解：函数定义域为R；

令u=x-4x+3,y=0.8；

指数函数y=0.8在（-∞，+∞）上是减函数；

u=x-4x+3在（-∞,2]上是减函数，在[2,+∞）上是增函数；

∴ 函数y=

在（-∞,2]上是增函数，在[2,+∞）上是减函数。

复合函数求导

规则

复合函数求导的前提：复合函数本身及所含函数都可导。

法则1：设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；

法则2：设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)；

应用举例

1、

求：函数f(x)=(3x+2)+3的导数。

解：

设u=g(x)=3x+2；

f(u)=u+3；

f'(u)=3u=3(3x+2)；

g'(x)=3；

；

2、

求

的导数。

解：

设u=g(x)=x-4,a=p(u)=u²+25

；

=

；

p'(u)=2u=2(x-4)；

g'(x)=1；

f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)=

=

.