也称为里兹法，是通过泛函驻值条件求未知函数的一种近似方法。英国的瑞利于1877年在《声学理论》一书中首先采用，后由瑞士的W.里兹于1908年作为一个有效方法提出。这一方法在许多力学、物理学、量子化学问题中得到应用。

同时它也是广泛应用于应用数学和机械工程领域的经典数值方法，它可以用来计算结构的低阶自然频率。它是直接变分法的一种，以最小势能原理为理论基础。通过选择一个试函数来逼近问题的精确解，将试函数代入某个科学问题的泛函中，然后对泛函求驻值，以确定试函数中的待定参数，从而获得问题的近似解。

原理

此法假定待求函数

为n个已知函数

的线性组合：

式中

为未知常系数。通过由

组成的泛函嗘

取驻值的条件(驻值条件对应于已知的物理定律或定理)得到n个方程，

由此解出n个未知常系数

，从而得到

。这一理论还可推广到多维问题。

在求解弹性体位移时，先假定弹性体内沿

方向的位移

分别由一系列已知的满足弹性体全部位移边界条件的连续函数

叠加而成，即

式中

为待求系数，共3n个。将

代入作为泛函的总势能Π的表达式，根据弹性学最小势能原理，总势能变分为零，即有驻值条件：

这是关于3n个待求系数

的3n个代数方程。解出3n个未知系数便得到全部位移。通过对位移进行微商并利用应力-应变关系就得到应力。由于瑞利-里兹法假设的位移函数

可以不满足力的边界条件，所以位移函数的构成比较容易，计算也比较方便，但有时求出的应力误差较大。

在振动问题中，如果将物体的可能位移表达为若干给定的位移的线性组合，而以瑞利商（见瑞利原理）作为位移的泛函，则利用瑞利商取驻值时条件，就可求出物体振动的固有频率的近似值。

应用

在机械工程领域，它被用于计算多自由度系统（如弹簧-质量系统、变截面轴上的飞轮）大致的共振频率；还可以计算圆柱体的折断载荷。瑞利-里兹法是瑞利法的扩展。

以下的讨论举一个最简单的例子（2个集中弹簧和2个集中质量，并只考虑2个模态振型）。因此

为该系统假设一个由两项组成的模态振型，其中一个用因数B加权。例如

简谐运动理论认为挠度等于0时的速率为角频率ω乘以最大挠度(y)。本例中，每个质量的动能(KE)等于

等等，而每个弹簧的势能(PE)等于

等等。对于连续系统，该表达式要麻烦得多。

因为引入了无阻尼假设，因此整个系统当

时的KE等于

时的PE。由于不存在阻尼，系统各点同时达到

的状态。

因此，由

得：

注意模态振型的实际振幅总会从两边消去。也就是说，假设挠度的真正数值并不重要。我们在意的是振型。

由于ω与B有关，为了找到最小的ω，我们令

。此时的B的取值可以使得ω最小。由于振型是假设的，通过该方法得到的ω是需要预测的基频的上界。我们需要得到的是这个上界的最小值。

该方法有很多技巧，最重要的是试图找到尽量真实的假设阵型。例如在梁的挠曲问题中，使用一个尽量接近真实的变形模态是明智的。对于大部分简单的梁连接问题，即使振型的阶次很低，一个四次的函数就足够了。弹簧和质量并不必离散，它们可以使连续的或者是杂糅的。只要能够描述分布式的KE和PE，或把连续的单元离散，该方法可以很容易编程来找到复杂分布式系统的自然频率。

该方法可以反复迭代使用，把附加的模态振型叠加到先前的最佳解上。也可以建立一个用许多参数B和振型组合的长表达式，最后对它们求偏导。

瑜伽辽金法的区别

里兹法本质是基于最小能量原理的，而伽辽金是一种加权余量法，只是当我们取权函数为形函数时（权函数可以很多取法，比如最小二乘什么之类的），这个时候两者是等效的。

所以两者虽然在某个特定的条件是等效的（注意一般是用“等效”，而少用相同），但是本质是思路是不同的。

里兹法本质上和现在我们用的常用得很多有限元法是一样的，区别在于里兹法是基于全域的，而有限元是基于单元假设形函数的。很显然，基于全域的话形函数是非常难的，除非非常简单的形状，这也是为什么里兹法不能普遍地解决问题，因为它没有利用离散（离散就形函数简单，可以利用计算机的数值计算能力）。