超越方程数值解法（超越方程数值解法）

简介

数值求解超越方程时首先需要确定解的分布区域，它可以利用图解法或者根据ƒ(z)的解析性质来确定。当ƒ(x)为实函数时，确定方程实根的分布的最常用方法是应用连续函数的中值定理：如果实的连续函数ƒ(x)在区间

的两个端点的值异号，则

在此区间内至少有一个根。

二分法　利用中值定理计算实函数实根的简单易行的方法，算法如下：

设区间

满足条件

的二等分点为计算

的值，若

，即为所求解；若

作为新的区间端点；若

,取

作为新区间的端点。

的二分点为计算ƒ(x1)的值并重复上述步骤以确定新的区间

，如此继续下去。则得到区间序列

(

)，它满足

达到指定的精确度要求时，则取为方程的解，它与精确解的误差不超过

迭代法　解超越方程的主要方法，既适用于求实根，也适用于求复根。使用这类方法时一般需要知道根的足够好的近似值。最常用的方法有牛顿法、割线法、二次插值法、双曲插值法、切比雪夫迭代法、艾特肯δ2加速方法和斯梯芬森方法等。

牛顿法　也称切线法，其计算公式为z0为事先选定的根的初始近似。设z为 ƒ(z)的根，若ƒ(z)在z的某邻域内二次可微，且

,则当z0与z充分接近时，牛顿法至少是二阶收敛的，即当k充分大时有估计式成立,C为确定的常数。一般说来，牛顿法只具有局部收敛性，即仅当初始近似与根充分接近时才收敛。但是，当ƒ(x)为实函数，且于

上

和 ƒ″(x)不变号时，若ƒ(x)于

上有根，则只要初始近似x0满足条件

,牛顿法就收敛。一般情形，为减弱对初始近似的限制，可利用牛顿下降算法，其算式为

为迭代参数，由条件

确定，牛顿法的

次近似

是ƒ(z)在zk处的泰勒展开式的线性部分的根。

割线法　又称弦位法，其算式为z0、z1为初始近似。若ƒ(z)于其根z的某邻域二次连续可微,且

则z0、z1与z充分接近时，割线法收敛于z,并当k充分大时有估计式式中C为常数，割线法的

次近似

是以zk、

为插值节点的线性插值函数的根，如果利用更精确的近似表达式则可构造出更高阶的迭代法。

二次插值法　亦称缪勒方法，是利用二次插值多项式构造的迭代算法。设已确定了zk、

、

,则

就取为以zk、

、

为节点的二次插值多项式两个根中与zk最接近者，其算式为式中“±”号选成使分母的模为最大者，而－

式中当分母为0，则

。

双曲插值法　利用线性分式插值构造的迭代算法，其算式为式中μk、δk、Δzk和ƒk的意义与二次插值法相同。

若ƒ(z)在其根z的某邻域内三次可微，并且z0、z1、z2与z充分接近，则二次插值法和双曲插值法均收敛。此外，如果

，对充分大的k，有估计式式中C为确定常数，τ为方程式

的惟一正根，

。

切比雪夫迭代法　三阶收敛的方法，其算式为当ƒ(z)在其根z的邻域内三次可微且

时，对充分大的k，有C为确定常数。

艾特肯δ2加速方法　提高迭代法收敛速度的有效算法，设

为迭代序列，δ2加速的算式为若ƒ(z)在其根z处充分光滑，且

,则对充分大的k,有并且若zk是

阶收敛，即C0均为常数。当

时也有加速作用。此算法可以循环使用。

斯梯芬森方法　不算微商而二阶收敛的方法，其算式为它可由迭代算法循环使用 δ2程序导出。

所有的迭代法用于求重根（即

）时, 其收敛速度将变慢，收敛阶将降低。

为求得达到所需精度的解而花费的代价是评价迭代法优劣的依据，效能指数是其重要指标，它定义为p1/宝，p为收敛阶，μ为每步需要计算的函数值和微商值的总数。效能指数越大，说明方法越好。二分法及上述各种迭代法的收敛阶（单根时和重根时）和效能指数如表。只有当初始近似与解充分接近时，迭代法才收敛，这是所述算法的共同特点。减弱对初始近似的限制是提高迭代法有效性的重要措施，例如，牛顿法中引进下降因子。对一些特殊函数类（如单调函数，只有实根的解析函数等）的大范围收敛迭代算法也有一些研究工作。