《海岛算经》是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础。由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》。

中文名

海岛算经

作者

刘徽

出处

《九章算术注》

作品体裁

测量数学著作

题

《重差》

创作年代

魏晋时期

内容简介

《海岛算经》共九问。都是用表尺重复从不同位置测望，取测量所得的差数，进行计算从而求得山高或谷深，这就是刘徽的重差理论。《海岛算经》中，从题目文字可知所有计算都是用筹算进行的。“为实”指作为一个分数的分子，“为法”指作为分数的分母。所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸；1里=180丈=1800尺；1丈=10尺：1步=6尺，1尺=10寸。

（1）

今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。

[翻译：假设测量海岛，立两根表高均为3丈，前后相距1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123 步,

人目著地观测到岛峰，从后表退行127步，人目著地观测到岛峰，问岛高多少 岛与前表相距多远？

术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法。除之，得岛去表数。

（2）

今有望松生山上，不知高下。立两表齐，高二丈，前後相去五十步，令後表与前表参相直。从前表却行七步四尺，薄地遥望松末，与表端参合。又望松本，入表二尺八寸。复从後表却行八步五尺，薄地遥望松末，亦与表端参合。问松高及山去表各几何？答曰：松高一十二丈二尺八寸；山去表一里二十八步、七分步之四。

术曰：以入表乘表间为实。相多为法，除之。加入表，即得松高。求表去山远近者：置表间，以前表却行乘之为实。相多为法，除之，得山去表。

（3）

今有南望方邑，不知大小。立两表东、西去六丈，齐人目，以索连之。令东表与邑　东南隅及东北隅参相直。当东表之北却行五步，遥望邑西北隅，入索东端二丈二尺六寸半。又却北行去表一十三步二尺，遥望邑西北隅，适与西表相参合。问邑方及邑去表各几何？答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步。

术曰：以入索乘後去表，以两表相去除之，所得为景长；以前去表减之，不尽以为法。置後去表，以前去表减之，余以乘入索为实。实如法而一，得邑方。求去表远近者：置後去表，以景长减之，余以乘前去表为实。实如法而一，得邑去表。

（4）

今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺。从勺端望谷底，入下股九尺一寸。又设重矩于上，其矩间相去三丈。更从勺端望谷底，入上股八尺五寸。问谷深几何？答曰：四十一丈九尺。

术曰：置矩间，以上股乘之，为实。上、下股相减，余为法，除之。所得以勾高减之，即得谷深。

（5）

今有登山望楼，楼在平地。偃矩山上，令勾高六尺。从勾端斜望楼足，入下股一丈二尺。又设重矩於上，令其间相去三丈。更从勾端斜望楼足，入上股一丈一尺四寸。又立小表於入股之会，复从勾端斜望楼岑端，入小表八寸。问楼高几何？答曰：八丈。

术曰：上、下股相减，余为法；置矩间，以下股乘之，如勾高而一。所得，以入小表乘之，为实。实如法而，即是楼高。

（6）

今有东南望波口，立两表南、北相去九丈，以索薄地连之。当北表之西却行去表六丈，薄地遥望波口南岸，入索北端四丈二寸。以望北岸，入前所望表里一丈二尺。又却行，後去表一十三丈五尺。薄地遥望波口南岸，与南表参合。问波口广几何？答曰：一里二百步。

术曰：以後去表乘入索，如表相去而一。所得，以前去表减之，余以为法；复以前去表减後去表，余以乘入所望表里为实，实如法而一，得波口广。

（7）

今有望清渊下有白石。偃矩岸上，令勾高三尺。斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又设重矩於上，其间相去四尺。更从勾端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。问水深几何？答曰：一丈二尺。

术曰：置望水上、下股相减，余以乘望石上股为上率。又以望石上、下股相减，余以乘望水上股为下率。两率相减，余以乘矩间为实；以二差相乘为法。实如法而一，得水深。

（8）

今有登山望津，津在山南。偃矩山上，令勾高一丈二尺。从勾端斜望津南岸，入下股二丈三尺一寸。又望津北岸，入前望股里一丈八寸。更登高岩，北却行二十二步，上登五十一步，偃矩山上。更从勾端斜望津南岸，入上股二丈二尺。问津广几何？答曰：二里一百二步。

术曰：以勾高乘下股，如上股而一。所得以勾高减之，余为法；置北行，以勾高乘之，如上股而一。所得以减上登，余以乘入股里为实。实如法而一，即得津广。

（9）

今有登山临邑，邑在山南。偃矩山上，令勾高三尺五寸。令勾端与邑东南隅及东北隅参相直。从勾端遥望东北隅，入下股一丈二尺。又施横勾於入股之会，从立勾端望西北隅，入横勾五尺。望东南隅，入下股一丈八尺。又设重矩於上，令矩间相去四丈。更从立勾端望东南隅，入上股一丈七尺五寸。问邑广长各几何？答曰：南北长一里百步；东西广一里三十三步、少半步。

术曰：以勾高乘东南隅入下股，如上股而一，所得减勾高，余为法；以东北隅下股减东南隅下股，余以乘矩间为实。实如法而一，得邑南北长也。求邑广：以入横勾乘矩间为实。实如法而一，即得邑东西广。

创作背景

《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》。唐初开始单行，体例亦是以应用问题集的形式。研究的对象全是有关高与距离的测量，所使用的工具也都是利用垂直关系所连接起来的测竿与横棒。有人说是实用三角法的启蒙，不过其内容并未涉及三角学中的正余弦概念。所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据，来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远。此卷书被收集于明成祖时编修的永乐大典中，现保存在英国剑桥大学图书馆。刘徽也曾对九章算数重编并加以注释。全书共9题，全是利用测量来计算高深广远的问题，首题测算海岛的高、远，故得名。

历代研究

秦九韶《表望浮屠》继承《海岛算经》

南北朝数学家祖冲之曾为《九章重差图》作注。唐朝将《九章重差图》从《刘徽九章算术注》中分离出来单独成书，以第一题“今有望海岛”取名为《海岛算经》。唐高宗显庆元年（656年）数学家李淳风等注释《算经十书》，作为国子监学习和考试用书，《海岛算经》就是《算经十书》之一，并且规定《海岛算经》的学习期限为三年，是其他算经学习期限的三倍，可见《海岛算经》在唐代受重视的程度。北宋元丰七年（1084年）和南宋宁宗嘉定六年（1213年）先后刻印两次。但宋刻本《海岛算经》后来遗失。南宋秦九韶研究过类似于海岛算经的测量书题目《表望浮屠》 南宋数学家杨辉《续古摘奇算法》讨论了四种测量问题，包括来自《海岛算经》海岛题，并指出“登高望松，遥望波口，非三望之术乎？清渊白石、登山临邑，非四望之术乎？”。明永乐年间收入《永乐大典》，但只存刘徽文字和李淳风注，刘徽原图和刘徽所作的注释已不存。元朝数学家朱世杰《四元玉鉴》《勾股测望》门第四，六，七，八等四问用天元术阐述《海岛算经》的《望海岛》，《望深谷》，《南望方邑》，《望清渊》。清乾隆时代，经学家戴震将《海岛算经》文字，从《永乐大典》中辑录出来收入《四库全书》。清代数学家李潢著《海岛算经细草图说》，沈钦裴著《重差图说》，均以欧几里德几何学论证，已失刘徽原意。李鏐著《海岛算经纬笔》。到民国时期，中算史家李俨《重差术流源及其新注》和《中国古代中算家的测绘术》，《海岛算经新注》都对《海岛算经》有所论述。

中国数学家白尚恕对海岛算经有较详细的论证。吴文俊院士论文《我国古代测望之学重差理论评介兼评数学史研究中的某些方法问题》 与《海岛算经古证探源》两篇论文对《海岛算经》有详细的论证，前文批评一些前人对《海岛算经》的论证中添加欧几里德几何的平行线或利用相似形理论或后代的代数论证的方法，颠倒历史，都是错误的方法，并提出正确的论证，必须以刘徽时代的出入相补原理为基础，才能还原《海岛算经》的本来面目。

作品影响

传播海外

《海岛算经》在唐代传入朝鲜、日本。最早向西方介绍《海岛算经》的是19世纪来华传教士伟烈亚力。他1852年在《北华捷报》（North China Herald，《字林西报》前身）发表的论文：《中国数学科学札记》（Jottings on the Sciences of Chinese Mathematics）。伟烈亚力在文中介绍了《海岛算经》，说此书是“一部关于实用三角学的九个问题”。1913年日本数学史家三上义夫在其英文著作《中国与日本数学的发展》第五章《海岛算经》 中译出头三则问题1932年法国数学家 L·van·Hee 翻译《海岛算经》全文

《海岛算经》的英文翻译本

1986年澳大利亚华人数学家洪天赐和美国数学家弗兰克·斯委特兹将《海岛算经》全文翻译成英文 还有日文翻译本和俄文翻译本。

作品评价

3世纪刘徽《海岛算经》运用二次、三次、四次测望法，是测量学历史上领先的创造中外学者对《海岛算经》的成就，给予很高的评价。《海岛算经》的英译者和研究者，美国数学家弗兰克·斯委特兹，在比较西欧测量学从古代希腊、罗马直到文艺复兴时期的发展，认为希腊测量术，重点在测量器具的运用，而其数学水准远不如刘徽《海岛算经》，直到文艺复兴时代，才差强达到《海岛算经》水准。他还指出17世纪初意大利来华传教士利玛窦和中国徐光启合著的《测量法义》十五题，并未能达到或超越《海岛算经》。他结论；“简而言之，在测量数学领域，中国人的成就，超越西方世界约一千年。”

《中国数学大系》一书中评价《海岛算经》：“使中国测量学达到登峰造极的地步。在西欧直到16，17世纪，才出现二次测量术的记载，到18世纪，才有了三、四次测量之术，可见中国古代测量学的意境之深，功用之广”。刘徽《海岛算经》的测量术，实比欧洲早一千三百至一千五百年。

作者简介

刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。

刘徽

《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正 负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明．在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．刘徽在割圆术中提出的“

割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣

”，这可视为中国古代极限观念的佳作。