丢番图方程（变量仅容许是整数的多项式等式）

名词定义

丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式；即形式如右上角图的方程，其中所有的

和c均是整数，若其中能找到一组整数解

者则称之有整数解。

丢番图问题有数条等式，其数目比未知数的数目少；丢番图问题要求找出对所有等式都成立的整数组合。对丢番图问题的数学研究称为丢番图分析。

3世纪希腊数学家亚历山大城的丢番图曾对这些方程进行研究。

丢番图方程的例子有贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理和费马最后定理等

历史概述

丢番图方程是数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。 Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组 (变量的个数大于方程的个数)或不定方程式 (两个变数以上)。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。

研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设

分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解

，这是一个三元不定方程组问题。

丢番图生平

代数之父─丢番图（Diophantine）是一位古希腊的大数学家，为第一位懂得使用符号代表数来研究问题的人。其中丢番图最著名的可能就是他的墓志铭了：

「坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。

上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。

五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。

悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。」

我们可以从中知道：“丢番图的一生，幼年占

，青少年占

，又过了

才结婚，5年后生子，子先父4年而卒，寿为其父之半。”计算丢番图的方程为

，由此知道丢番图享年84岁。

一次不定方程

一次不定方程是形式如

的方程，一次不定方程有整数解的充要条件为：

须是c的因子，其中

表示

的最大公因子。

若有二元一次不定方程

，且

，则其必有一组整数解

，并且还有以下关系式：

t为任意整数，故此一次不定方程有无限多解。请参见贝祖等式。

丢番图分析

经典问题

* 有解答吗？

* 除了一些显然易见的解答外，还有哪些解答？

* 解答的数目是有限还是无限？

* 理论上，所有解答是否都能找到？

* 实际上能否计算出所有解答？

希尔伯特第十问题

1900年，希尔伯特提出丢番图问题的可解答性为他的23个问题中的第10题。1970年，一个数理逻辑的结果马蒂雅谢维奇定理（Matiyasevich's theorem）说明：一般来说，丢番图问题都是不可解的。更精确的说法是，不可能存在一个算法能够判定任何丢番图方程式否有解，甚至，在任何相容于皮亚诺算数的系统当中，都能具体构造出一个丢番图方程，使得没有任何办法可以判断它是否有解。

现代研究

* 丢番图集是递归可枚举集。

* 常用的方法有无穷递降法和哈赛原理。

* 丢番图逼近研究了变量为整数，但系数可为无理数的不等式。