无穷小量是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常它以函数、序列等形式出现。无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

中文名

无穷小量

应用学科

数学

适用领域

数学分析

提出时间

公元前300年

外文名

Infinitesimals

提出者

阿基米德

概念定义

无穷小是极限为零的函数。如

是自变量

，因变量极限为零的函数。此时f(x)就是

的无穷小。

无穷大是指绝对值大于任何数的函数，因此负无穷不是无穷小，而是无穷大。

设f在某x0的空心邻域有定义。

对于任给的正数ε（无论它多么小），总存在正数

（或正数

）使得不等式

（或

）的一切

对应的函数值

都满足不等式

，则称函数

为当

（或

）时的无穷小量。记做：

（或

）。

概念性质

1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。

2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

3、无穷小量与自变量的趋势相关。

4、若函数

在某

的空心邻域内有界，则称g为当

时的有界量。

例如

，都是当

时的无穷小量，

是当

时的无穷小量，而

为

时的有界量，

是当

时的有界量。特别的，任何无穷小量也必定是有界量。

5、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

6、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

7、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

8、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

9、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

无穷大定义

当自变量x趋于x0时，函数的绝对值无限增大，则称

为当

时的无穷大。记作

。

同样，无穷大不是一个具体的数字，而是一个无限发展的趋势。

阶的比较

前提条件

无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢。因此两个无穷小量之间又分为高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。

首先规定

都为

时的无穷小，

在某

的空心邻域恒不为0。高低阶无穷小量

，则称当

时，f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量。

记做

(

)

特别的，f为当

时的无穷小量记作

(

)。同阶无穷小量

当

（

）时，ƒ和ɡ为

时的同阶无穷小量。

当

时的同阶无穷小量：

与

与

等价无穷小量

，则称ƒ和ɡ是当

时的等价无穷小量，记做：

（

）。

等价无穷小量应用最广泛，常见的有：

当

时

，

，

（

）