完全弹性碰撞（Perfect Elastic Collision）是专业术语，拼音为wán quán tán xìng pèng zhuàng，在理想情况下，完全弹性碰撞的物理过程满足动量守恒和能量守恒。一般在高中物理教材上，直接称这样满足机械能守恒与动量守恒的碰撞为弹性碰撞（ Elastic Collision）。

中文名

完全弹性碰撞

外文名

Perfect Elastic Collision

定义

满足机械能守恒与动量守恒的碰撞

类型

物理学名词

关联定律

动量守恒定律能量守恒定律

特点

碰撞时间极短外力可以忽略不

相关

非完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞

解释

完全弹性碰撞

碰撞，一般是指两个或两个以上物体在运动中相互靠近，或发生接触时，在相对较 短的时间内发生强烈相互作用的过程。

碰撞会使两个物体或其中的一个物体的运动状态发生明显的变化。

碰撞特点

1）碰撞时间极短

2）碰撞力很大，外力可以忽略不计，系统动量守恒

3）速度要发生有限的改变，位移在碰撞前后可以忽略不计

过程分析

讨论两个球的碰撞过程。碰撞过程可分为

两个过程

。开始碰撞时，两球相互挤压，发生形变，由形变产生的弹性恢复力使两球的速度发生变化，直到两球的速度变得相等为止。这时形变得到最大。这是碰撞的第一阶段，称为

压缩阶段

。此后，由于形变仍然存在，弹性恢复力继续作用，使两球速度改变而有相互脱离接触的趋势，两球压缩逐渐减小，直到两球脱离接触时为止。这是碰撞的第二阶段，称为

恢复阶段

。整个碰撞过程到此结束。

碰撞分类

根据碰撞过程动能是否守恒分为

1）

完全弹性碰撞

：碰撞前后系统动能守恒（能完全恢复原状）；

2）非完全弹性碰撞：碰撞前后系统动能不守恒（部分恢复原状）；

3）完全非弹性碰撞：碰撞后系统以相同的速度运动（完全不能恢复原状）。

一。完全弹性碰撞：能量守恒，动量守恒。

若两质量为

的物体，以初速度为

发生碰撞，设碰撞后的速度各为

。

则根据：

易证得：

二非弹性碰撞：必须满足三个约束：1）动量约束：即碰撞前后动量守恒

2）能量约束：即碰撞前后系统能量不增加

3）运动约束：即碰撞前若A物体向右碰撞B物体，那么碰撞后A物体向右

的速度不可超越B物体。

例题

完全弹性碰撞妙趣横生、耐人寻味，是很特殊的一类碰撞。现拟从七个方面入手，通过一些经典的实例和身边的现象，仔细“品味”完全弹性碰撞，以期激发学生学习物理的兴趣。

如果主碰球的质量为，被碰球的质量为，根据动量守恒和机械能守恒：

解得。

两和相等

【这个结论再没有其它任何条件，适用范围最广。】

偷梁换柱

完全弹性碰撞

（1）结论推导：若，则，。（交换速度） （2）典型示例：如图1所示，在光滑的水平面上有一辆长为的小车A，在A上有一木块B（大小不计），A与B的质量相等，B与A的动摩擦因数为。开始时A是静止的，B位于A的正中以初速度向右运动，假设B与A的前后两壁碰撞是完全弹性的，求B与A的前后两个墙壁最多能相碰多少次？

解析：先是B在摩擦力的作用下减速，A在摩擦力的作用下加速。地面是光滑的，系统动量守恒，B与A的前壁发生完全弹性碰撞，且质量相等，因此A与B交换速度。此后，B将加速，A将减速，B又与A的后壁发生完全弹性碰撞交换速度。就这样不停地减速，间断地交换，最终达到相等的速度，相对运动宣告结束。

，解得。

再根据系统的动能定理，，解得。

在滑动摩擦力中，是相对路程，所以最多能相碰次。

（3）现象链接：如图2所示，质量相等的两个刚性小球，摆角不相等，同时由静止自由释放，各自将会在自己的半面振动，但是角度不停地周期性变化，对于左面的小球角度的变化是：，右面的小球角度的变化是：。妙趣横生。

前赴后继

（1）结论推导：若，且，则，。（传递速度）

（2）一题多变：在图1中，如果B与A之间光滑，B与地面之间的动摩擦因数为，其它条件不变，求B与A的前后两个墙壁最多能相碰多少次？

解析：先是B在A上无摩擦的滑动，与A的前壁发生短暂的完全弹性碰撞，可以看作动量守恒，由于A与B质量相等，所以它们传递速度，B便停下来，A在此速度的基础上开始减速，接着B与A的后壁又发生完全弹性碰撞传递速度，B又匀速运动，A又停止。就这样二者交换，走走停停，最终系统都停下来。

根据系统的动能定理：，解得。

则B与A的前后两个墙壁最多能相碰次。

点评：虽然情景相似，但略作变化，结果就大相径庭。

（3）现象链接：

①（英国皇家学会的一个很著名的实验）它是在天花板上悬挂好多相等摆长的双线摆，当第一个小球摆下以后，这个速度一直就会传递到最后一个小球，最后一个小球也就摆到原来的高度，这样一直往复运动下去，中间的双线摆不运动，起到传递速度的作用。如图3所示。

②（台球）这在台球运动中是经常见到的现象。

（4）经典回顾：（93年全国高考题）如图4所示，A、B是位于水平桌面上的两个质量相等的小木块，离墙壁的距离分别为和，与桌面之间的动摩擦因数分别为和，仅给A以某一初速度，使之从桌面的右端向左运动，假定A、B之间，B与墙壁之间的碰撞时间极短，且碰撞中总动能无损失，若要使木块A最后不从桌面上掉下来，则A的初速度最大不能超过多少？

解析：物理情景是这样的，三次碰撞均为完全弹性碰撞：A碰B（前赴后继），B碰墙（蚍蜉撼树），B碰A。三段减速运动：A至B，B往返至A，A减速恰至桌面边缘。

根据质点组的动能定理，

，

解得，。

点评：本题也可以分段列式解答。

勇往直前

（1）结论推导：若，且，则，，。

（2）典型示例：（验证动量守恒定律的实验）为了避免入射小球被反向弹回，入射小球的质量必须大于被碰小球的质量，原因就在于此。如图5所示。

（3）现象链接：一个大人跑步时一不小心碰到一个小孩的身上，小孩很容易被碰倒，就是这个道理。

（4）习题精练：如图6所示，在光滑水平面上静止着质量为的物体B，B的一端固连着一根轻质弹簧，质量为的物体A，以的速度冲向B并与之发生正碰，求当弹簧重新回复原长时两物体的速度各为几何？

解析：弹簧被压缩到回复原长的过程，是弹性势能储存并完全释放的过程，动能守恒，发生了完全弹性碰撞，，“勇往直前”，把数据代入篇首的结论，解得：

点评：这个答案可以用第一点“两和相等”的结论验证，。

我行我素

（1）结论推导：若，且，则，。

（2）典型示例：（粒子散射实验）在这个实验中，首先得排除粒子大角度散射不是电子造成的，课本上为了说明这一点，用了这样一个比喻：粒子遇到电子就像高速飞行着的子弹遇到一粒尘埃一样。这个现象可以用以上结论很好地解释了。

（3）现象链接：铅球碰撞乒乓球就是这种现象。

（4）习题精练：见第七点“蚍蜉撼树”。

反向弹回

（1）结论推导：若，且，则，。

（2）典型示例：有光滑圆弧轨道的小车质量为，静止在光滑水平地面上，圆弧下端水平，有一质量为的小球以水平初速度滚上小车，如图7所示。求小球又滚下和小车分离时二者的速度？

解析：由于满足动量守恒和动能守恒，所以小球在光滑圆弧上的运动，可以看作是完全弹性碰撞，所以小球的分离可以看作是反向弹回。把数据代入篇首的结论，则

小球的速度：，

小车的速度：。

（3）现象链接：（篮球运动）在篮下，质量小的运动员经常被碰回，这是司空见惯的。

（4）习题精练：如图8所示，半径为的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为、（为待定系数），A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道开始下滑，与静止于轨道最低点的B球相碰，碰撞后A、B能达到的最大高度均为，碰撞中无机械能损失，重力加速度为。试求：（1）待定系数；（2）第一次碰撞刚刚结束时小球A、B各自的速度。

解析：（1）由于圆环内侧光滑，又碰撞是完全弹性碰撞，所以系统机械能守恒，

，得。

（2）小球A滚下，在最低点的动能是：，解得；

接着与B球发生完全弹性碰撞，被反向弹回，把数据代入篇首的结论，则第一次碰撞刚刚结束时小球A的速度为：，

小球B的速度为：。

点评：

①本题也可以倒过来计算，碰撞之后A、B分别向两侧画上圆环，机械能守恒

A．； B．。

②在反向弹回的情况下，如果，碰撞之后二者速率相等。

蚍蜉撼树

（1）结论推导：若，且，则，。

（2）典型示例：（乒乓球碰撞墙壁）乒乓球碰倒墙壁以后被反向弹回，它的动量发生了二倍的改变，即。如图9所示。

（3）现象链接：（气体分子碰撞器壁）气体分子频繁地碰撞器壁，给器壁产生一个持续的恒定的压力。而每个分子都被反向弹回。

（4）习题精练：网球拍以速率击中以速率飞来的网球，被击回的网球的最大速率是多少？（以上所有的速率都是指相对于地面的速率）

解析：最大速率是发生在一条直线上的完全弹性碰撞，设球拍质量为，网球质量为，满足。

解法一：若球拍静止，根据以上第七点“蚍蜉撼树”的结论，网球被反向弹回，速率不变。若网球静止，根据以上第五点“我行我素”的结论，网球将以的速率飞出。

综合以上两点，被击回的网球的最大速率为：。

解法二：若以球拍为参照系，则网球相对于球拍的速率为，碰撞后以相对速率反向弹回。

再以地面为参照系，球拍相对于地面的速率为，与网球相对于球拍离去速度同向，所以网球对地的速度是：。

解法三：球拍击球前后速度几乎不变，即保持不变，根据第一点“两和相等”得，，因此。

总之，从方方面面“品味”完全弹性碰撞，对掌握其它类型的碰撞是大有裨益的。