反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola）,反比例函数图象中每一象限的每一条曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^（-1）。表达式为：x是自变量，y是因变量，y是x的函数。

中文名

反比例函数

外文名

inverse proportional function

计算公式

y=k/x，其中k∈(-∞,0)∪(0,+∞)

图像对称性

轴对称，中心对称图形

值域

(-∞,0)∪(0,+∞)

定义域

{x|x≠0}

k小于0时

2、4象限

应用范围

几何、数学，计算机等

k大于0时

1、3象限

定义

一般的，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成 (k为常数，k≠0，x≠0），其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数，且y也不能等于0。k>0时，图象在一、三象限。k<0时，图象在二、四象限。k的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。

表达式

x是自变量，y是因变量，y是x的函数

（即：y=kx^-1）

(k为常数且k≠0，x≠0）

若此时比例系数为：

自变量的取值范围

① 在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是不等于0的任意实数。

② 函数 y 的取值范围也是任意非零实数。

解析式

其中x是自变量，y是x的函数，其定义域是不等于0的一切实数，

即 {x|x≠0,x属于R这个范围。R是实数范围。也就是x是实数}。

下面是一些常见的形式：y*x=-1,y=x^(-1)*k（k为常数(k≠0），x不等于0）

函数图象

当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.

图象画法

1）列表

x

...-3-2-11234...

y

...-4-6-1212643...

2）在平面直角坐标系中标出点。

3）用平滑的曲线连接点。

1.当K>0时，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而减小。

2.当K<0时，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而增大。

当两个数相等时那么曲线呈弯月型。

k的意义及应用

过反比例函数（ ）图象上任意一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积为。过反比例函数图象一点，作任一坐标轴的垂线，并连接原点，围成的三角形的面积为。

研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积为。

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。这个常数是k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。

函数性质

合并图册

单调性

当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；

当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。

k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

相交性

因为在 (k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。

面积

在一个反比例函数图像上任取两点，过点分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|，

反比例函数上一点 向x 、y 轴分别作垂线，分别交于y轴和x轴，则QOWM的面积为|k|，则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT△OMQ的面积=½|k|。

图像表达

反比例函数图象不与x轴和y轴相交的渐近线为：x轴与y轴。

k值相等的反比例函数图象重合，k值不相等的反比例函数图象永不相交。

|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

对称性

反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图象也是轴对称图形，其对称轴为

y=x或y=-x

；反比例函数图象上的点关于坐标原点对称。

反比例函数

图象关于原点对称。若设正比例函数y=mx与反比例函数 交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。

反比例函数关于正比例函数y=±x轴对称，并且关于原点中心对称。

应用举例

例1

反比例函数图象上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程 t^2+3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式．

分析：

要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程．

解：

∵ m, n是关于t的方程 的两根

∴ m+n=-3，mn=k,

又∵P到原点的距离为根号13

m＾2+n＾2=13, m+n=-3;

∴ (m+n)＾2-2mn=13, m+n=-3；

∴ 9-2k=13

∴ k=-2

∴该反比例函数的解析式为y=-2/x.

例2

直线与位于第二象限的双曲线 相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求：

（1）求双曲线的解析式

分析：矩形aboc的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段，设A点坐标为（m,n），则AB=|n|, AC=|m|，

根据矩形的面积公式知|m·n|=6.

由已知条件知，该双曲线位于第二、四象限，因此，A点坐标值异号，

即双曲线的解析式为xy=-6.例3

已知一次函数y=-x+6和反比例函数 y=x/k（k≠0）

（2）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图像有两个交点？

（3）当图像有两个交点时（设为A和B），判断∠AOB是锐角、钝角还是直角？说明理由。解（1）一次函数y=-x+6和反比例函数y=x/k（k不等于零）有两个交点，即

化简的有两个交点 则方程有两个不同的解

即所以k<9且k不等于0

（2）当0例3

已知函数.

（1）当m为何值时，y是x的正比例函数?

（2）当m为何值时，y是x 的反比例函数？

解（1）正比例函数则x次数是1

(m-2)(m+1)=0

m=2,m=-1

系数不等于0

m-1≠0

所以m=2,m=-1

（2）反比例函数则x次数是-1

m(m-1)=0

m=0,m=1

系数不等于0

m-1≠0

所以舍去m=1

因此m=0

例4

一矩形的面积为24，则该矩形的长x cm与宽y cm之间的关系是什么？请写出函数表达式，若要求矩形的各边长均为整数，请画出所有可能的的矩形。

解 面积xy=24

函数表达式(x>0)

矩形的各边长均为整数

可以取x=1，2，3，4，6，8，12，24

知识与概念

概念理解

形如 (k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图象性质：反比例函数的图象为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数，有对称中心，图象关于原点对称。

另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图象上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图象。

当K>0时，反比例函数图象经过一，三象限，是减函数

当K<0时，反比例函数图象经过二，四象限，是增函数

反比例函数图象只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

重点知识

1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。

2.对于双曲线，若在分母上加减任意一个实数m(m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移m个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）

延伸

设n为正整数，则n的所有取值所对应的函数 交于（1，1）和（-1，-1），且当n越大并且x>1时，,图像离坐标轴近；当n越大并且0x时，图像离坐标轴近。